高二数学 圆的方程 已知圆O:x²+y²-4x+2y-3=0和圆外一点M(4,-8),过点M作圆的切线,切点为C,D,求

Question

已知圆O:x²+y²-4x+2y-3=0和圆外一点M(4,-8),过点M作圆的切线,切点为C,D,求切线长及CD所在直线的方程
切线长我会求,CD所在直线的方程怎么求?求详细的解题思路

Answer 1

直接把点的坐标代入方程左端，再开方，就得切线长。

设P（x0，y0）是圆上任一点，则过P的圆的切线方程为 x0*x+y0*y-2(x0+x)+(y0+y)-3=0 。
把上述的 P 换成 M ，就得 CD 的方程为 4x-8y-2(4+x)+(-8+y)-3=0 ，
化简得 2x-7y-19=0 。

解释如下：设 C（x1，y1），D（x2，y2），
则过 C 的切线方程为 x1*x+y1*y-2(x1+x)+(y1+y)-3=0 ，
因为它过 M ，所以 4x1-8y1-2(x1+4)+(y1-8)-3=0 ，
同理，可得 4x2-8y2-2(x2+4)+(y2-8)-3=0 ，
由以上两式可以看出，点 C、D 的坐标都满足方程 4x-8y-2(x+4)+(y-8)-3=0 ，
而它是一次方程，表示直线，所以它就是直线 CD 的方程 。追问

我高二刚学圆的方程，只学到圆x²+y²=r²上的点（x0，y0)的切线方程为x0x+y0y=r²
你讲的设P（x0，y0）是圆上任一点，则过P的圆的切线方程为 x0*x+y0*y-2(x0+x)+(y0+y)-3=0 还没学到 看不明白。麻烦解释一下

追答

这是书上结论的推广，要记住的：
（1）过圆 x^2+y^2=r^2 上任一点 P（x0，y0）的切线方程为 x0*x+y0*y=r^2 ；
（2）过圆 (x-a)^2+(y-b)^2=r^2 上任一点 P（x0，y0）的切线方程为
(x0-a)*(x-a)+(y0-b)*(y-b)=r^2 ；（也可写成 (x0-a)*(x-x0)+(y0-b)*(y-y0)=0 ）
（3）过圆 x^2+y^2+Dx+Ey+F=0 上任一点 P（x0，y0）的切线方程为
x0*x+y0*y+D(x0+x)/2+E(y0+y)/2+F=0 。

这样的结论不仅对圆成立，对任意二次曲线都成立。
如 P（x0，y0）是抛物线 y^2=2px 上任一点，则过 P 的抛物线的切线方程为 y0*y=p(x0+x) 。

追问

上面你讲的公式中的点P都是圆上的点,那M是圆外的点也可以直接代入吗

追答

题目不是让求 CD 的方程吗？是的，只要把 M 的坐标代入切线方程，就是 CD 的方程。道理我在前面已解释过。

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Answer 2

圆的方程为：(x-2)²+(y+1)²=8
直线CD为：(4-2)(x-2)+(-8+1)(y+1)=8
即：2x-7y-19=0追问

为什么直线CD为：(4-2)(x-2)+(-8+1)(y+1)=8怎么得出的

追答

设C点坐标为：(x1,y1),C在圆上,过C的切线为
(x1-2)(x-2)+(y1+1)(y+1)=8
同理过D的切线为
(x2-2)(x-2)+(y2+1)(y+1)=8
而M在这两条直线上。

(x1-2)(x-2)+(y1+1)(y+1)=8
是由于圆心连接切点垂直于切线，可由向量内积为0推出。可以选为正确答案吗？谢谢了。