如何判断二元函数偏导数是否存在？

Question

如题所述

Answer 1

多元函数关于在x0处的偏导数存在的充要条件：(t趋于0)lim [f(x0+t)-f(x0)]/t存在，对于其他的自变量也是一样的道理；多元函数可偏导与连续是非必要亦非充分关系。

用极限的相关知识来考察这个极限是否存在。这极限是否存在和该点处偏导数是否存在是一致的,因此证明偏导数存在的任务就转化为证明极限存在。

x方向的偏导

设有二元函数 z=f(x,y) ，点(x0,y0)是其定义域D 内一点。把 y 固定在 y0而让 x 在 x0 有增量 △x ，相应地函数 z=f(x,y) 有增量（称为对 x 的偏增量）△z=f(x0+△x,y0)-f(x0,y0)。

如果 △z 与 △x 之比当 △x→0 时的极限存在，那么此极限值称为函数 z=f(x,y) 在 (x0,y0)处对 x 的偏导数，记作 f'x(x0,y0)或函数 z=f(x,y) 在(x0,y0)处对 x 的偏导数，实际上就是把 y 固定在 y0看成常数后，一元函数z=f(x,y0)在 x0处的导数。