√x+√y=1，显然x和y的范围都是0到1，
即y=(1-√x)^2，
那么y'=2(1-√x)* (-0.5/√x)=1/√x -1，
所以曲线的弧长等于
L=∫(上限1，下限0) √(1+y'²) dx，
=∫(上限1，下限0) √[1+(1/√x -1)²] dx，
=∫(上限1，下限0) √(1/x- 2/√x +2) dx 令√x=t，代入得到，
=∫(上限1，下限0) √(1/t² - 2/t +2) d(t²)，
=∫(t的上限1，下限0) √2 *√ [(√2t-√2/2)²+1/2] d(√2t- √2/2)，
由基本积分公式∫√(x²+a²)dx=(x/2)*√(x²+a²)+ (a²/2)*ln|x+√(x²+a²)|+C，
可以知道
∫√2 *√ [(√2t-√2/2)²+1/2] d(√2t- √2/2) 在这里a²=1/2，
=√2 * [1/2 * (√2t-√2/2)* √(1- 2t +2t²) +1/4 *ln|√2t- √2/2 +√(1- 2t +2t²)| ]+C，
代入t的上下限1和0，
得到
=√2 * { [√2/4+1/4*ln(1+√2/2)] - [-√2/4+1/4*ln(1-√2/2)] }，
=1+ (1/2√2)* ln[(1+√2/2)/(1-√2/2)]，
=1+ (1/2√2)* ln[(√2+1)/(√2-1)]。
扩展资料
不定积分的积分公式主要有如下几类：含ax+b的积分、含√（a+bx）的积分、含有x^2±α^2的积分、含有ax^2+b（a>0）的积分、含有√（a²+x^2）（a>0）的积分、含有三角函数的积分、含有反三角函数的积分、含有指数函数的积分、含有对数函数的积分、含有双曲函数的积分。
函数的积分表示了函数在某个区域上的整体性质，改变函数某点的取值不会改变它的积分值。对于黎曼可积的函数，改变有限个点的取值，其积分不变。
对于勒贝格可积的函数，某个测度为0的集合上的函数值改变，不会影响它的积分值。如果两个函数几乎处处相同，那么它们的积分相同。如果对任意元素A，可积函数f在A上的积分总等于（大于等于）可积函数g在A上的积分，那么f几乎处处等于（大于等于）g。