令x=sint
x：0→1，则t：0→π/2
∫[0：1]√(1-x²)dx
=∫[0：π/2]√(1-sin²t)d(sint)
=∫[0：π/2]cos²tdt
=½∫[0：π/2](1+cos2t)dt
=(½t+¼sin2t)|[0：π/2]
=[½·(π/2)+¼sinπ]-(½·0+¼sin0)
=π/4
扩展资料：
定理1：设f(x)在区间[a,b]上连续，则f(x)在[a,b]上可积。
定理2：设f(x)区间[a,b]上有界，且只有有限个间断点，则f(x)在[a,b]上可积。
定理3：设f(x)在区间[a,b]上单调，则f(x)在[a,b]上可积。
定积分与不定积分看起来风马牛不相及，但是由于一个数学上重要的理论的支撑，使得它们有了本质的密切关系。把一个图形无限细分再累加，这似乎是不可能的事情，但是由于这个理论，可以转化为计算积分。
参考资料来源：百度百科-定积分
例如函数y1=6-9x^2与y2=x^2-x-1围成的区域面积
- 主要内容：
本文主要通过微积分定积分的知识，介绍二次函数y1=6-9x^2与y2=x^2-x-1围成的区域面积的主要计算步骤和过程。
- 主要步骤：
※.先求出两函数的交点。
联立方程y1和y2，求出二者的交点。
6-9x^2=x^2-x-1
10x^2-x-7=0,由二次方程的求根公式得：
x1=(1-√281)/20，x2= (1+√281)/20，即：
x2-x1=√281/10，
并由韦达定理得：
x1+x2=1/10，
x1*x2=-7/10。
- ※.定积分求面积。
S=∫[x1,x2](y1-y2)dx
=∫[x1,x2][6-9x^2-(x^2-x-1)]dx
=∫[x1,x2](6-9x^2-x^2+x+1)dx
=∫[x1,x2](-10x^2+x+7)dx
=(-10/3)x^3+(1/2)x^2+7x[x1,x2]
=(-10/3)(x2^3-x1^3)+(1/2)(x2^2-x1^2)+7(x2-x1)
利用立方差和平方和因式分解，进一步化简得：
S=(-10/3)(x2-x1)(x^2+x1x2+x1^2)+(1/2)(x2-x1)(x2+x1)+7(x2-x1)
=(x2-x1){ (-10/3)[(x1+x2)^2-x1x2]+(1/2)*(1/10)+7}
= √281/10*{ (-10/3)[(1/10)^2+7/10]+(1/2)*1/10+7}
=√281/10*(60/281)
=6√281/281。
- 定积分：
如果函数f(x)在区间[a,b]上连续，用分点xi将区间[a,b]分为n 个小区间，在每个小区间[xi-1,xi]上任取一点ri（i=1,2,3„,n） ，作和式f(r1)+...+f(rn) ，当n趋于无穷大时，上述和式无限趋近于某个常数A，这个常数叫做y=f(x) 在区间上的定积分.
这里，a 与 b叫做积分下限与积分上限，区间[a,b] 叫做积分区间，函数f(x) 叫做被积函数，x 叫做积分变量，f(x)dx 叫做被积式.
