已知递推公式An=aAn-1+bAn-2 a,b为常数，求An（用A1,A2来表示An）

Question

已知递推公式An=aAn-1+bAn-2
a,b为常数，
求An（用A1,A2来表示An）

Answer 1

纯数学办法，a、b为任何值时都有解
An=aAn-1+bAn-2，A3=aA1+bA2
b=0时为简单等比数列，b不=0时有
An+xAn-1=(a+x)An-1+bAn-2
其中x=b/(a+x)，即有x^2+ax-b=0，解得x1,x2，其中
x1+x2=-a，x1x2=-b（不论x1、x2是否是实数）
于是
An+x1An-1=(A2+x1A1)[(a+x1)^(n-2)]=(A2+x1A1)[(-x2)^(n-2)]，
An+x2An-1=(A2+x2A1)[(a+x2)^(n-2)]=(A2+x2A1)[(-x1)^(n-2)]；n>2
得到
An=-x2(A2+x1A1)[(-x1)^(n-2)-(-x2)^(n-2)]/(x2-x1)+(-x1)^(n-2)A2
An=-x1(A2+x2A1)[(-x2)^(n-2)-(-x1)^(n-2)]/(x1-x2)+(-x2)^(n-2)A2
两式相加，得
2An=(aA2+2bA1)[(-x1)^(n-2)-(-x2)^(n-2)]/(x2-x1)+[(-x1)^(n-2)+(-x2)^(n-2)]A2
当x1、x2不为实数时，(-x1)^(n-2)-(-x2)^(n-2)项为纯虚数，同时(x2-x1)为纯虚数，故
[(-x1)^(n-2)-(-x2)^(n-2)]/(x2-x1)为实数项；[(-x1)^(n-2)+(-x2)^(n-2)]为实数
因此
An=1/2{(aA2+2bA1)[(-x1)^(n-2)-(-x2)^(n-2)]/(x2-x1)+[(-x1)^(n-2)+(-x2)^(n-2)]A2}
=1/2^(n-1){(aA2+2bA1)[(a+√|a^2+4b|)^(n-2)-(a-√|a^2+4b|)^(n-2)]/√|a^2+4b|
+[(a+√|a^2+4b|)^(n-2)+(a-√|a^2+4b|)^(n-2)]A2}；
n>2