一、选择题（本大题共12小题每小题5分共60分） 1. 2. B3. A4. A5. A6. C 7. B 8. B9. D10. C11. B12. C 简答与提示：
可得，又中，则即，则，因此，故选B.
B 由题意可知：，因此，化简得，则，由可知，仅有满足，故选B.
A 由于要取，，中最大项，输出的应当是，，中的最大者，所以应填比较与大小的语句，故选A.
A 该几何体由底半径为1的半圆锥与底面为边长等于2正方形的四棱锥组成，且高都为，因此该几何体体积为 ，故选A.
A 由题意可计算得； ； ，综上，故选A.
C 由与可得，，因此，所以，故选C.
B 由题意中，，由正弦定理可知，由此，，故选B.
B 命题中 与关于原点对称，故为真命题；命题中取极小值时，，则，故为假命题，则为假命题，故选B.
D ，当且仅当，即时等号成立. 由恒成立，则，，解得，故选D.
C 当时，，，三点为等腰三角形的三个顶点，其中，，从而圆心到直线的距离为1，此时；当时，又直线与圆存在两交点，故，综上的取值范围为，故选C.
B 由题可知：双曲线离心率与椭圆离心率 设则，，， ，， 时，当增大，减小，导致减小. . 故选B.
C 对于②，假设，则，则，因此②错误；对于③，假设，则，又，则，因此③也错误，而①和④都是正确的，故选C.
二、填空题（本大题共4小题每小题5分共20分）
13. 14. 315. 16. 604
简答与提示：
，即为求区域内的点与点连线斜率的取值范围，由图可知.
由正弦定理与余弦定理可知，可化为，化简可得，又且，可计算得.
设正四面体棱长为，则正四面体表面积为，其内切球半径为正四面体高的，即，因此内切球表面积为，则.
由，可知，则，所以是以10为周期的周期函数. 在一个周期上，函数在区间内有3个零点，在区间内无零点，故在一个周期上仅有3个零点，由于区间中包含201个周期，又时也存在一个零点，故在上的零点个数为.
三、解答题（本大题必做题5小题三选一选1小题共70分）
(本小题满分12分)
解：(1)，，所以，则；将代入得，而，所以，因此函数；(6分)
(2) 由于，，所以，所以的取值范围是.( 12分(本小题满分12分)
①
②
①-②可得，则.(3分)
当时 ，则，则是以为首项，为公比的等比数列，
因此.(6分)
(2)，(8分)
所以，(10分)
(12分)(本小题满分12分) ，且O为中点，又侧面底面，，，
平面(2) 如图，以O为原点，分别以OB、OC、所在直线为x、y、z轴，建立空间直角坐标系，则由题可知，，，.
，令平面的法向量为，则，而，，可求得一个法向量，所以
，
故直线与平面所成角的正弦值.(8分)
(3) 存在点为线段的中点.
证明：连结交于点，连结、，则为的中点，从而是的一条中位线，，而平面，平面，所以平面，故的中点即为所求的点. (12分(本小题满分12分)
(1)设，可知 ①(1分)
又，即 2分代入得：. 又，故所求椭圆方程为4分(2)设直线，代入，有.
设，则. 6分若轴上存在定点满足题设，则，，
9分由题意知，对任意实数都有恒成立， 即对成立.
解得， 11分在轴上存在定点使以为直径的圆恒过这个定点. 12分(本小题满分12分)
本小题主要考查函数与导数的，具体涉及到用导数来研究函数的单调性、，.
【试题解析】解：
；(2分)
(1) 由曲线在点处的切线垂直于轴，结合导数的几何意义得，即，解得；(4分)
(2) 设，则只需求当时，函数的最小值.
令，解得或，而，即.
从而函数在和上单调递增，在上单调递减.
当时，即时，函数在上为减函数，；
当，即 时，函数的极小值即为其在区间上的最小值， .
综上可知，当时，函数的最小值为；当时，函数的最小值为.(8分)
(3) 令，显然，则.
构造函数，.
令得，，，可知：在上单调递减，且，当无限减小时，保持恒负并无限接近于0，其图像在下方无限靠近轴负半轴；在上单调递增，当无限接近于0时，无限增大，其图像在左侧向上无限接近轴正半轴，由于极小值，所以在内存在一个零点；在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增，因此在处取得极大值，在处取得极小值. 当并无限靠近0时，无限减小，其图像无限靠近轴负半轴，当无限增大时，也由负值变为正值无限增大，在区间内也存在一个零点. 函数的大致图像如图所示：
根据条件与的图像存在三个交点，即方程有三个解，直线与函数的图像有三个公共点. 因此或，即或，从而的取值范围是. (12分)
(本小题满分10分) 选修41：几何证明选讲AD为⊙M的直径，则，，由点G为弧BD的中点可知，故∽，所以有，即.(5分)
(2)由(1)知，故∽，所以，即 (10分)
(本小题满分10分)选修4：选讲：由，得，进而；
对于：由（为参数），得，即.(5分)
(2)由(1)可知为圆，且圆心为，半径为2，则弦心距，弦长，因此以为边的圆的内接矩形面积. (10分)
(本小题满分10分)选修45：不等式选讲当时，由得或或，解得或．函数的定义域或}.(5分)
(2) 由题可知恒成立，即恒成立，而，所以，即的取值范围.(10分)
数学（理科）试题参考答案及评分标准 第5页（共8页）
O
C
B
A
z
y
B1
C1
A1
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