求高手,高二抛物线与椭圆

Question

1.抛物线y=-x^2/2与点M（0，1）的直线L相交于A，B两点，O为原点．若OA和OB的斜率之和为1，求直线L的方程．
2.已知中心在原点，一焦点为F（0，根号50）的椭圆被直线L：y=3x-2截得的弦的中点横坐标为0.5，求此椭圆的方程．

Answer 1

1.设直线方程为y=kx+b,将M(0,1)代入方程解得b=1-->y=kx+1
因为直线与抛物线有交点，将两式联立：
-x^2/2=kx+1
移项：x^2+2kx+2=0
设A(x1,y1),B(x2,y2)
显然x1,x2为方程x^2+2kx+2=0的两根。
因为OA和OB的斜率之和为1，所以y1/x1+y2/x2=1,
且y1=-x1^2/2,y2=-x2^2/2,代入上式--->x1+x2=-2.
根据韦达定理，x1+x2=-2k=-2 --->k=1
写到这里，这道题算是解完了，但是k=1并不能保证
方程x^2+2kx+2=0有两个不相同的实数根，即不能保证直线与抛物线有2个交点，我检查了很久，没检查出错误，于是怀疑你的题目是不是有问题。也或者我水平有限，那么以上步骤仅供参考。

2.
设椭圆方程为y^2/a^2+x^2/b^2=1,
因为焦点为（0，根号50），所以a^2-b^2=50 (1)
将直线方程代入椭圆方程得：
(3x-2)^2/a^2+x^2/b^2=1
化简得：（9+a^2/b^2）x^2-12x+4-a^2=0
因为直线与椭圆有两个交点(x1,y1)(x2,y2)，那么x1,x2应当是上述方程的两个实根，且由题意可知道，两交点连线构成弦的中点的横坐标可表示为：(x1+x2)/2=0.5,所以x1+x2=1
由韦达定理：x1+x2=12/(9+a^2/b^2)=1 (2)
将（1）（2）两式联立成方程组即可求出a,b,从而求出椭圆方程。

Answer 2

1.抛物线y=-x^2/2与点M（0，1）的直线L相交于A，B两点，O为原点．若OA和OB的斜率之和为1，求直线L的方程．
直线L:y=kx+1
y=-x^2/2
kx+1=-x^2/2
x^2+2kx+2=0
x=-k±√(k^2-2)
y=1-k^2±k√(k^2-2)
kOA=[1-k^2+k√(k^2-2)]/[-k+√(k^2-2)]=0.5[k-√(k^2-2)]
kOB=[1-k^2-k√(k^2-2)]/[-k-√(k^2-2)]=0.5[k+√(k^2-2)]
OA和OB的斜率之和为1,kOA+kOB=1
0.5[k-√(k^2-2)]+0.5[k+√(k^2-2)]=1
k=1
直线L:y=x+1

2.已知中心在原点，一焦点为F（0，根号50）的椭圆被直线L：y=3x-2截得的弦的中点横坐标为0.5，求此椭圆的方程
a>b
c=√50
a^2-b^2=c^2=50
a^2=50+b^2
x^2/b^2+y^2/a^2=1
x^2/b^2+y^2/(50+b^2)=1
L：y=3x-2
x^2/b^2+(3x-2)^2/(50+b^2)=1
(50+10b^2)x^2-(12b^2)*x-46b^2-b^4=0
x1+x2=12b^2/(50+10b^2)
(x1+x2)/2=6b^2/(50+10b^2)
弦的中点横坐标为0.5
(x1+x2)/2=0.5
6b^2/(50+10b^2)=0.5
b^2=25,a^2=50+b^2=75
此椭圆的方程:x^2/25+y^2/75=1