如图,在Rt△ABC中,∠BAC=90°,AB=AC,点M、N在边BC上.
(1)如图1,如果AM=AN,求证:BM=CN;
(2)如图2,如果M、N是边BC上任意两点,并满足∠MAN=45°,那么线段BM、MN、NC是否有可能使等式MN2=BM2+NC2成立?如果成立,请证明;如果不成立,请说明理由.
(1)证明:∵AB=AC,∴∠B=∠C.
∵AM=AN,∴∠AMN=∠ANM.
即得∠AMB=∠ANC.
在△ABM和△CAN中,
∠AMB=∠ANC,∠B=∠CAB=AC
∴△ABM≌△CAN(AAS).
∴BM=CN.
另证:过点A作AD⊥BC,垂足为点D.
∵AB=AC,AD⊥BC,∴BD=CD.
同理,证得MD=ND.
∴BD-MD=CD-ND.
即得BM=CN.
(2)MN2=BM2+NC2成立.
证明:过点C作CE⊥BC,垂足为点C,截取CE,使CE=BM.连接AE、EN.
∵AB=AC,∠BAC=90°,∴∠B=∠C=45°.
∵CE⊥BC,∴∠ACE=∠B=45°.
在△ABM和△ACE中,
AB=AC∠B=∠ACEBM=CE
∴△ABM≌△ACE(SAS).
∴AM=AE,∠BAM=∠CAE.
∵∠BAC=90°,∠MAN=45°,∴∠BAM+∠CAN=45°.
于是,由∠BAM=∠CAE,得∠MAN=∠EAN=45°.
在△MAN和△EAN中,
AM=AE∠MAN=∠EANAN=AN
∴△MAN≌△EAN(SAS).
∴MN=EN.
在Rt△ENC中,由勾股定理,得EN^2=EC^2+NC^2.
即得MN^2=BM^2+NC^2.
另证:由∠BAC=90°,AB=AC,可知,把△ABM绕点A逆时针旋转90°后,AB与AC重合,设点M的对应点是点E.
于是,由图形旋转的性质,得AM=AE,∠BAM=∠EAN.
以下证明同上.