直线2x－y＋3＝0关于直线x－y＋2＝0对称的直线方程是？求详细的解答过程

Question

直线2x－y＋3＝0关于直线x－y＋2＝0对称的直线方程是？求详细的解答过程！谢谢了！

Answer 1

这种题只要记住一个公式就好了：
曲线或直线F(x,y)=0，关于直线l：f(x,y)=Ax+By+C=0的对称曲线或者直线方程为：
F{[x - 2Af(x,y)/(A²+B²)]，y- 2Bf(x,y)/(A²+B²)]}=0

解：
F(x,y)=2x-y+3=0,
f(x,y)=x-y+2=0
则：
F{[x-2(x-y+2)/2],[y+2(x-y+2)/2]}=0
2(y-2)-(x+2)+3=0
化简得：
x-2y+3=0

该公式可用一般方法证明。任何曲线关于直线对称的曲线都可用改公式快速求出

证明：
设M（x,y）曲线C‘上的任意一点，它关于直线l的对称点为M’（x',y'）,则：M‘∈C，于是：
F（x',y'）=0
根据M与M’关于直线l对称可列如下方程：
B（x-x'）- A(y-y')=0
A(x+x')/2 + B(y+y')/2 + C = 0
则：
x'=x-[2A/(A²+B²)]f(x,y)
y'=y-[2B/(A²+B²)]f(x,y)
因此：
F{[x - 2Af(x,y)/(A²+B²)]，y- 2Bf(x,y)/(A²+B²)]}=0

实际上，这种问题都是按照这个方法求的，还不如归纳一下，弄个公式出来，可以举一反三，又可以提高求解速度

Answer 2

分析：本题考查求一直线关于某直线的对称直线方程的求法．当对称轴斜率为±1时，由对称轴方程分别解出x，y，代入已知直线的方程，即得此直线关于对称轴对称的直线方程．

解：因为直线x-y+2=0的斜率为1，故有x=y-2，y=x+2
将其代入直线2x-y+3=0即得：2（y-2）-（x+2）+3=0，
整理即得 x-2y+3=0．

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Answer 3

设y=2x+3关于直线y=x+2对称的直线方程为y=kx+b
∵y=2x+3与y=kx+b关于y=x+2对称
∴2·k=1，k=1/2 //2、k、1为三条直线的斜率，因为对称，斜率相乘等于对称直线斜率
∴y=1/2x+b
∵对称，所以y=1/2x+b经过y=2x+3和y=x+2的交点
y=2x+3 ①
y=x+2 ②
①-②
x+1=0 x=-1代入②
y=-1+2=1
∴交点(-1,1)，代入y=1/2x+b
1=-1/2+b b=3/2
所以与y=2x+3关于直线y=x+2对称的直线方程为：y=1/2x+3/2