计算无穷限反常积分的解？

Question

上限为（无穷大），下限为（无穷小）。∫[1/（x^2+x+1）]dx=?
求详细的解，特别是定积分是怎么划开的？

Answer 1

∫[1/（x^2+x+1）]dx=∫[1/（(x+1/2)^2+3/4）]dx=∫[1/（(x+1/2)^2+3/4）]dx
=4/3*∫[1/((2/√3*(x+1/2))^2+1）]dx
=2/√3*∫[1/((2/√3*(x+1/2))^2+1）]d(2/√3*x)
=2/√3*∫[1/((2/√3*(x+1/2))^2+1）]d(2/√3*(x+1/2))
=2/√3*arctan(2/√3*(x+1/2))
当x->+∞时，arctan(2/√3*(x+1/2))—>π/2
当x->-∞时，arctan(2/√3*(x+1/2))—>-π/2
所以，原定积分=2/√3（π/2+π/2）=2/√3*π=2√3*π/3

Answer 2

另外若上限是正无穷，下限是0的话，该广义积分值 为

π/2-arctan(1/2).

仅供参考.