AB是抛物线y=x^2上的点(异于原点),以AB为直径的圆经过原点,求证:直线AB经过定点

Question

如题所述

Answer 1

解：设A(x1,y1),B(x2,y2),直线AB方程为y=kx+b,与抛物线y=x^2联立，
　　消去y得：x^2-kx-b=0(△=k^2+4b≥0)
x1+x2=k,x1x2=-b,y1y2=(kx1+b)(kx2+b)=b^2
由于以AB为直径的圆经过原点,所以向量OA与向量OB的数量积为0
即 x1x2+y1y1=-b+b^2=0,所以b=1或b=0(舍)
　　于是直线AB为y=kx+1,过定点(0,1)
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Answer 2

设点A(a,a^2) B(b,b^2)
线段AB的中点C((a+b)/2,(a^2+b^2)/2)
因为AB为直径，且经过原点
则|OC|=|AB|/2
(a+b)^2/4+(a^2+b^2)^2/4=[(a-b)^2+(a^2-b^2)^2]/4

4ab+4a^2b^2=0
ab(ab+1)=0
因为点A、B异于原点
所以ab=-1
直线AB为：y-a^2=(a+b)(x-a)
(a+b)x-y-ab=0
(a+b)x-y+1=0
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