在三维坐标系中，如何表示一个三维单位向量组？

Question

如题所述

Answer 1

在三维坐标系中，一个三维单位向量组可以表示为一组互相垂直的单位向量。这些单位向量通常被称为基向量或标准正交基。
首先，我们需要确定三个线性无关的向量作为基向量。这三个向量可以是任意的，但通常会选择x轴、y轴和z轴上的单位向量，即i、j和k。它们分别表示为：
i = (1, 0, 0)
j = (0, 1, 0)
k = (0, 0, 1)
这三个向量是线性无关的，因为它们没有公共点，并且任何一个向量都不能表示为其他两个向量的线性组合。
接下来，我们需要将这些基向量归一化，使它们的模长为1。这可以通过将每个向量除以其模长来实现。对于单位向量i、j和k，它们的模长都是1，所以不需要进行归一化。
最后，我们可以使用这三个单位向量来表示三维空间中的任意向量。任意向量v可以表示为这三个基向量的线性组合，即v = ai + bj + kc，其中a、b和c是标量。这个表达式被称为向量的分量形式。
通过这种方式，我们可以用一个三维单位向量组来表示三维空间中的任意向量。这个单位向量组具有许多重要的性质，例如它们是正交的（即它们的内积为零），并且可以用来计算向量的长度、方向和角度等。