向量法在立体几何中的运用

Question

在直三棱柱ABC-A1B1C1中，AB=BC=2，AB⊥AC,D为BB1中点。二面角B-A1C1-D的大小为α
（Ⅰ）当AA1=2时，求（ⅰ）向量A1B与向量B1C1所成角φ的余弦值
（ⅱ）C1D与平面A1BC1所成角θ的正弦值
（Ⅱ）当棱柱的高变化时，求cosα的最小值、
打错了，应该是AB=AC=2

Answer 1

我理解你的题目为 AB=AC=2 AB⊥AC 这样就可以了解了。 下面是解答。

以A 为原点，建立坐标轴，（要是角B为直角就B为原点，这样比较方便） 这样得到了A（0 0 0） B（2,0,0） C（0 0 2） A1（0 2 0） B1（2 2 0） C1（0 2 2）

1-1） 向量A1B 就是（2,-2,0） B1C1（-2 ，0，2），余弦就是点积除以模 -1/2 这个公式应该知道。

1-2） 求这个 只要知道四边形D-A1C1B的高，有了高，高除以C1D的长度就是答案了。 关于求高，四边形 B-A1B1C1 的体积减去 D-A1B1C1 的体积，就是四边形D-A1C1B的体积，加上底面积BA1C1很简单，是个直角三角形，这样就能得到高了。

另外 D 做垂直线到A1B于E， 这条线就是高，应为高， 应为A1C1垂直平面A1B1B 所以DE是垂直于A1C1的， 因此DE是垂直于平面A1C1B （已经垂直平面内2条相交直线），求DE高就能知道余弦值，正弦就一个根号1-平方而已

2）这个也差不多，设一个高度h， 就能知道DE的长度，余弦值能用AE和A1D表示，是个一元二次方程，有最小值一定。

Answer 2

你字母是不是打错了，AB=BC，而AB⊥AC，怎么可能。