离散数学设R是集合A上的等价关系，S={<a,b>|c∈A,aRc∧cRb}，证明S是A上的等价

离散数学设R是集合A上的等价关系，S={<a,b>|c∈A,aRc∧cRb}，证明S是A上的等价关系

推荐答案 2013-09-15

对于任意的a∈A，因为R是等价关系，所以aRa，由S的定义可知(a,a>∈S。所以S非空且有自反性。

如果<a,b>∈S，那么存在c∈A，使得aRc，cRb。因为R是等价关系，有对称性，所以bRc，cRa，由S的定义可知<b,a>∈S。所以S有对称性。
如果<a,b>,<b,c>∈S，那么存在d∈A，使得aRd，dRb。存在e∈A，使得bRe，eRc。因为R是等价关系，有传递性，所以由dRb，bRe，eRc可知dRc。由aRd，dRc以及S的定义可知<a,c>∈S，所以S有传递性。
所以，S是等价关系。追问

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