定义 特征根法是解常系数齐次线性微分方程的一种通用方法。 特征根法也可用于求递推数列通项公式，其本质与微分方程相同。 r*r+p*r+q称为对递推数列: a(n+2)=pa(n+1)+qan的特征方程。方法 对微分方程： 设特征方程r*r+p*r+q=0两根为r1，r2。 1 若实根r1不等于r2 y=c1*e^(r1x)+c2*e^(r2x). 2 若实根r1=r2 y=(c1+c2x)*e^(r1x) 3 若有一对共轭复根（略） 对递推数列：如何用特征方程求数列的通项？ 数列：满足An+2 + s*An+1 + t*An=0 则其对应的特征方程为：x^2 +sx+t=0 ,设其两根为α、β 1).当α≠β时，An=k*α^(n-1) + m*β^(n-1) 2).当α＝β时，An=(kn+m)*α^(n-2) 其中k、m的值的求法，用A1、A2的值代入上面的通项公式中，建立方程组解之即可 (1).数列满足：An+2 -4*An+1 +4An=0 ,A1=1 ,A2=2 ,求通项An 解：特征方程为 (x-2)^2=0 ,所以α＝β＝2 设An=(kn+m)*α^(n-2) ， 所以(k+m)/2 = 1 ,(2k+m)=2 ,解得：k=2 ,m=0 所以An=(kn+m)*α^(n-2)=n*2^(n-1) (2).裴波那契数列满足：An+2 -An+1 -An=0 ,A1=1 ,A2=1 ,求通项An 解：特征方程为 x^2 -x-1=0 ,所以α=(1-√5)/2 ,β=(1+√5)/2 设An=k*α^(n-1) + m*β^(n-1) ，则有 k + m = 1 ,k*(1-√5)/2 + m*(1+√5)/2 = 1 解得：k=-(√5/5)*α ,m=(√5/5)*β 所以An= (√5/5)*β^n - (√5/5)*α^n 1 若特征方程有两个不等实根r1,r2则an=c1*r1^n+c2*r2^n 其中常数c1,c2由初始值a1=a,a2=b唯一确定。 (1) c1r1+c2r2=a; (2) c1r1^2+c2r2^2=b 2 若特征方程有两个相等实根r1=r2=r an=(c1+nc2)r^n 其中常数c1,c2由初始值唯一确定。 (1) a=(c1+c2)r (2) b=(c1+2c2)r^2 一类重特征根对方程解的简便解法 对于常系数齐次线性微分方程组dX/dt=AX,当矩阵A的特征根λi(i=1,…,r)的重数是ni(≥1),对应的mi个初等因子是(λ-λi)ki1,…,(λ-λi)kimi,ki1+…+kimi=ni时,它对应方程中ni个线性无关解,其结构形如Xi(t)=(P(i)1(t),…,P(i)n(t))'eλ()i,此时多项式P(i)j(t)的次数小于等于Mi-1,(Mi=max{ki1…,kimi}).由于Mi计算起来非常困难,本文利用相似矩阵的特点和Jordan标准型在Mi-1与ni-1之间找到了一个便于应用的多项式P(i)j(t)次数的上界,使计算起来更加方便和有效.
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