对尺度函数的要求

Question

如题所述

Answer 1

（1）尺度函数与两尺度序列

V₀称为参考子空间。多分辨率分析的性质（5）指出，若V₀中存在一个尺度函数φ（t）可用标准正交基表示成式（6-66）的形式，即

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则尺度函数φ（t）的构造由｛h_k；k∈Z｝决定，例如，①有限长的两尺度序列对应的尺度函数一定是紧支集的函数，②最短的两尺度序列对应的尺度函数的支集区间一定是最短的。

两尺度序列｛h_k；k∈Z｝是尺度函数φ（t）在V_-1空间的正交投影，即

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对式（6-66）所表示的两尺度关系式左右两边求傅氏变换

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H（ω）见式（6-71），得

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这是两尺度关系式的频域表示。式（6-66）和式（6-77）的求和在L²（R）上都收敛。H（ω）是L²（［0，2π］）中周期为2π的函数。式（6-78）几乎逐点处处成立，用符号“（a.e.）”（all most everywhere）注明。

（2）成为标准正交基的充分必要条件

式（6-71）定义的H（ω）是h_k的傅氏变换用

归一化的结果，其目的是为了简化两尺度关系的频域表示式（6-78）。H（ω）决定着尺度函数的结构，因而十分重要。可以证明φ_0，k（t）成为V₀的标准正交基的充分必要条件是：

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（3）尺度函数与两尺度序列的性质

假设有下列条件成立

1）φ（t）∈L¹（R）（绝对可积）

2）

，（a.e.）

3）｛h_k｝∈l¹，（离散绝对可和的）

由（一）得Φ（ω）是连续函数，由（二）得Φ（0）=1，Φ（2kπ）=0，（0≠k∈Z），那么两尺度序列｛h_k；k∈Z｝具有以下性质

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并且有

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为使上式成立，要求无限积分∏H（ω/2^k）收敛。此外，还可以导出（G（ω）见式（6-71））

H（0）=1，H（π）=0

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综合以上分析，我们可以归纳出：为了使φ_j，k（t）=2^-jφ（2^-jt-k），j，k∈Z构成V_j子空间的正交基，生成元φ（t）（尺度函数）应该具有下列基本性质：

1）尺度函数的容许条件：

。

2）能量归一化条件：‖φ（t）‖²=1。

3）尺度函数φ（t）具有正交性，即＜φ（t-k），φ（t-l）＞=δ_k，l，∀k，l∈Z。

4）尺度函数φ（t）与基小波函数ψ（t）正交，即＜φ（t），ψ（t）＞=0。

5）两相邻不同尺度的尺度函数φ（t）与φ（2t）相关，即满足双尺度方程（6-66）。

6）母小波函数ψ（t）和φ（2t）相关，即满足小波函数的双尺度方程（6-95）。

将尺度函数的容许条件与小波的容许条件作一对比知：尺度函数的傅氏变换Φ（ω）具有低通滤波特性（相当于低通滤波器，因为

，而小波函数的傅氏变换Ψ（ω）则具有高通滤波特性（Ψ（0）=0。或更确切地说，相当于带通滤波器）。