为什么向量组中向量个数大于维数的时候，向量组就一定线性相关呢？

Question

比如1 2 3 4
1 2 8 2
1 3 9 5
这个向量组最后一行是怎么化成0的？

Answer 1

不用化简。向量组线性相关的充分必要条件是它们所拼成的矩阵的秩小于向量的个数。当向量个数大于维数时，矩阵的秩≤行数=向量维数<向量个数，所以向量组一定线性相关。

Answer 2

第一咧，全为1，经过初等变换，全为0.有一向量为0，必相关

Answer 3

两种方法理解：
第一种：用线性相关的充分必要条件秩小于n
设有n个m维向量a1，a2....,an，且m<n，此时把向量a1，a2....,an组成向量组，根据矩阵的rAB≤min（rA，rB）（这里我解释下你可以把A理解为（a1，a2....,an）行向量，B理解为单个m维列向量）因为m<n，所以rAB≤m的，又因为矩阵的秩等于行的秩也等于列的秩，所以此时的rA≤m的，又m<n，所以rA<n，所以必然线性相关
第二种：用线性相关的另一个充分必要条件齐次线性方程组AX=0有非零解
设AX=0化为X1a1+...+Xnan=0，这个式子这么理解变量X的值由a1到an里面的m维向量决定，你会发现n个X只有m个数限制，所以存在n-m个X没有被限制，必然我可以把n-m个X换成m个X的表达式，此时X有无穷多个解，即存在非零解，所以线性相关