设A是mxn矩阵，r(A)=m,证明，线性方程组Ax=b一定有解。

Question

如题所述

Answer 1

r(A)=m意味着存在行列变换矩阵P,Q满足
A=P(E, 0) Q
其中E是mxm单位阵，0是mx(n-m)零矩阵
所以P(E,0)Q x=b
就是P(E,0) (Qx) =b
两边乘以P的逆P'得到
(E,0)(Qx) = P'b
把Qx分解成mx1和(n-m)x1两块矩阵
x1
x2
则上式等于x1 = P'b
x2是任意常量
x = Q'(Qx), Q'是Q的逆
所以解求I出了，自然也存在了

Answer 2

非齐次方程组无解的情况是系数矩阵的秩与增广矩阵的秩不一样
而题中系数矩阵的秩m，方程组也只有m个，所以增广矩阵的秩不可能大于m，且增广矩阵的秩是大于系数矩阵的，所以增广矩阵的秩也为m，所以此非齐次方程组必有唯一解追问

题中系数矩阵的秩m，方程组也只有m个，所以增广矩阵的秩不可能大于m；如何理解这句话呢？？

m这里指的是行，你的意思是增广矩阵的秩不能大于矩阵的行数嘛？？

追答

肯定不能大于啊。。。因为系数矩阵的行数也是增广矩阵的行数，一个矩阵的秩是不能大于行数，也不能大于列数的

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