f(x)的导数减去f(x)等于e的x次方,求f(x)?

Question

可以凭做题经验看出来 但具体过程怎么样啊？ 求解

Answer 1

设y=f（x）
所以y’-y=e^x
经过观察得到这是一个一阶线性微分方程
所以令y‘-y=0 （常数变易法）
y=C（x）e^x
再将y代入到y’-y=e^x中 得到C（x）=x+c
所以y=f（x）=（x+c）e^x c是任意实数

Answer 2

解：分享一种解法。由题设条件，有f'(x)-f(x)=e^x。
令f'(x)-f(x)=0，∴f'(x)/f(x)=1。两边积分，∴ln[f(x)]=x+C1。∴对齐次一阶微分方程f'(x)-f(x)=0有通解f(x)=ce^x。
再令f(x)=v(x)e^x，代入原方程，有v'(x)=1。两边对x积分，∴v(x)=x+C。
∴方程f'(x)-f(x)=e^x的通解为，f(x)=(x+C)e^x，其中，C为常数。
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