任何n阶矩阵是一组三角矩阵（包括上三角矩阵和下三角矩阵）的乘积

Question

希望能详细说明，偶滴线代基础太差了%>_<%
忘了说，这是一道证明题

Answer 1

在线性代数中，三角矩阵是方形矩阵的一种，因其非零系数的排列呈三角形状而得名。三角矩阵分上三角矩阵和下三角矩阵两种。上三角矩阵的对角线左下方的系数全部为零，下三角矩阵的对角线右上方的系数全部为零。三角矩阵可以看做是一般方阵的一种简化情形。比如，由于带三角矩阵的矩阵方程容易求解，在解多元线性方程组时，总是将其系数矩阵通过初等变换化为三角矩阵来求解；又如三角矩阵的行列式就是其对角线上元素的乘积，很容易计算。有鉴于此，在数值分析等分支中三角矩阵十分重要。一个可逆矩阵A可以通过LU分解变成一个下三角矩阵L与一个上三角矩阵U的乘积。

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这是一道证明题，我想应该有证明过程，怎么证明呢

Answer 2

前提是你得知道矩阵通过一系列 (有限步) 行初等变换可以转化到阶梯型, 而对于方阵而言阶梯型一定是上三角阵, 所以只要证明那一系列行变换都是三角矩阵就行了.

第二类初等变换是对角阵, 第三类初等变换是三角矩阵, 唯有第一类变换需要验证
事实上第一类初等变换可以用另外两类变换来表示, 见
http://zhidao.baidu.com/question/363611351.html追问

1.对第一类初等变换证明看了好几遍，还是看不懂啊%>_<%？

追答

用 [a,b;c,d] 表示
a b
c d
那么
[0,1;1,0] = [1,0;0,-1] * [1,0;-1,1] * [1,1;0,1] * [1,0;-1,1]

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