已知函数f(x)=lnx

Question

已知函数f(x)=lnx/x，(1)求函数f(x)在(1，f(1))处的切线方程，(2)若方程fx)-t=0在[1/e，e^2]上有两个不同的解，求t的取值范围

Answer 1

f(x)=lnx/x
f'(x)=1/x*x-lnx)/x^2=(1-lnx)/x^2
x=1时, f'(1)=1/1= 1 f(1)=ln1/1=0
k=1
切线y-0=1(x-1)
y=x-1

f(x)-t=0
u(x)=f(x)-t
u'(x)=f'(x)=(1-lnx)/x^2>0 lnx<1 0<x<e,增的. x>e减的. 最大值u(e)=lne/e-t=1/e-t
由于u(x)开口向下,fx)-t=0在[1/e，e^2]上有两个不同的解,则:u(1/e)<=0 u(e^2)<=0 且u(x)max>0
即:
u(1/e)=ln(1/e)/(1/e)-t<=0 t>=-e
u(e^2)<=0 ln(e^2)/e^2-t<=0 t>=2/e^2
u(x)max=u(e)=1/e-t>0 t<1/e
综上:2/e^2=<t<1/e