平面直角坐标系xoy中，边长为3的正方形OABC的两顶点A、C分别在y轴、x轴的正半轴上。现将正方形OABC绕点o

Question

平面直角坐标系xoy中，边长为3的正方形OABC的两顶点A、C分别在y轴、x轴的正半轴上。现将正方形OABC绕点o顺时针旋转（旋转角度a),当A点第一次落在直线y=x上时停止旋转，旋转过程中，AB边交直线y=x于点M，BC边交x轴于点N。平面直角坐标系xoy中，边长为3的正方形OABC的两顶点A、C分别在y轴、x轴的正半轴上。现将正方形OABC绕点o顺时针旋转（旋转角度a),当A点第一次落在直线y=x上时停止旋转，旋转过程中，AB边交直线y=x于点M，BC边交x轴于点N。

（1)求当a=15°时线段AM的长和点M的坐标
（2）在旋转过程中是否存在有个位置，使得AC平行MN？若存在，请求出旋转角a的度数；若不存在，请说明理由。
（3）设三角形MBN的周长为p，则在正方形OABC旋转的过程中，p值是否有变化？请证明你的结论。

Answer 1

（1）∵A点第一次落在直线y=x上时停止旋转，
∴OA旋转了45度．
∴OA在旋转过程中所扫过的面积为 9/8π ．

（2）∵MN‖AC，
∴∠BMN=∠BAC=45°，∠BNM=∠BCA=45度．
∴∠BMN=∠BNM．∴BM=BN．
又∵BA=BC，∴AM=CN．
又∵OA=OC，∠OAM=∠OCN，∴△OAM ≌△OCN．
∴∠AOM=∠CON．∴∠AOM= 1/2（90°-45°）=22.5度．
∴旋转过程中，当MN和AC平行时，正方形OABC旋转的度数为45°-22.5°=22.5度．

（3）证明：延长BA交y轴于E点，则∠AOE=45°-∠AOM，∠CON=90°-45°-∠AOM=45°-∠AOM，
∴∠AOE=∠CON．
又∵OA=OC，∠OAE=180°-90°=90°=∠OCN．
∴△OAE ≌△OCN．
∴OE=ON，AE=CN．
又∵∠MOE=∠MON=45°，OM=OM，
∴△OME ≌△OMN．∴MN=ME=AM+AE．
∴MN=AM+CN，
∴p=MN+BN+BM=AM+CN+BN+BM=AB+BC=6．
∴在旋转正方形OABC的过程中，p值无变化．

Answer 2

第一题，∠α=15°，∴∠AOM=45°-∠α=30°，又∵AO=3，∴AM=√3 OM=2√3 则M（√6，√6）
其他的看楼上的，楼上的找的答案给你了

Answer 3

（1）∵A点第一次落在直线y=x上时停止旋转，
∴OA旋转了45度．
∴OA在旋转过程中所扫过的面积为 9/8π ．

（2）∵MN‖AC，
∴∠BMN=∠BAC=45°，∠BNM=∠BCA=45度．
∴∠BMN=∠BNM．∴BM=BN．
又∵BA=BC，∴AM=CN．
又∵OA=OC，∠OAM=∠OCN，∴△OAM ≌△OCN．
∴∠AOM=∠CON．∴∠AOM= 1/2（90°-45°）=22.5度．
∴旋转过程中，当MN和AC平行时，正方形OABC旋转的度数为45°-22.5°=22.5度．

（3）证明：延长BA交y轴于E点，则∠AOE=45°-∠AOM，∠CON=90°-45°-∠AOM=45°-∠AOM，
∴∠AOE=∠CON．
又∵OA=OC，∠OAE=180°-90°=90°=∠OCN．
∴△OAE ≌△OCN．
∴OE=ON，AE=CN．
又∵∠MOE=∠MON=45°，OM=OM，
∴△OME ≌△OMN．∴MN=ME=AM+AE．
∴MN=AM+CN，
∴p=MN+BN+BM=AM+CN+BN+BM=AB+BC=6．
∴在旋转正方形OABC的过程中，p值无变化．