其实,名字叫做欧拉公式的公式有很多。不过在几何学中,欧拉公式指的是——简单多面体的顶点数V、面数F及棱数E间有关系:V+F-E=2。我们所学的几何体,如棱柱、棱锥等都是简单多面体。欧拉公式的证明方法很多。证法一:逐步减少多面体的棱数,分析V+F-E以简单的四面体ABCD为例分析证法。去掉一个面,使它变为平面图形,四面体顶点数V、棱数V与剩下的面数F1变形后都没有变。因此,要研究V、E和F关系,只需去掉一个面变为平面图形,证V+F1-E=1。(1)去掉一条棱,就减少一个面,V+F1-E不变。依次去掉所有的面,变为“树枝形”。(2)从剩下的树枝形中,每去掉一条棱,就减少一个顶点,V+F1-E不变,直至只剩下一条棱。 以上过程V+F1-E不变,V+F1-E=1,所以加上去掉的一个面,V+F-E=2。对任意的简单多面体,运用这样的方法,都是只剩下一条线段。因此公式对任意简单多面体都是正确的。证法二:计算多面体各面内角和设多面体顶点数V,面数F,棱数E。剪掉一个面,使它变为平面图形(展开图),求所有面内角总和Σα(1)在原图中利用各面求内角总和。 设有F个面,各面的边数为n1,n2,…,nF,各面内角总和为:Σα = [(n1-2)·1800+(n2-2)·1800 +…+(nF-2) ·1800]= (n1+n2+…+nF -2F) ·1800=(2E-2F) ·1800 = (E-F) ·3600 (1)(2)在拉开图中利用顶点求内角总和。设剪去的一个面为n边形,则其内角和为(n-2)·1800 ,则所有V个顶点中,有n个顶点在边上,V-n个顶点在中间。中间V-n个顶点处的内角和为(V-n)·3600,边上的n个顶点处的内角和(n-2)·1800。所以,多面体各面的内角总和:Σα = (V-n)·3600+(n-2)·1800+(n-2)·1800=(V-2)·3600. (2)由(1)(2)得:(E-F) ·3600 =(V-2)·3600所以,V+F-E=2。
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