有一道题,求它的不定积分,绿色部分开平方后不考虑正负的话,做出来的结果和参考答案是一致的。我的疑惑是绿色部分开平方根出来不应该是要考虑正负两种情况吗?为什么参考答案貌似只考虑到了为正的情况,而不考虑开平方出来为-cost的情况? 高数菜鸟,请大神们不吝赐教!
不用考虑正负号,因为反正弦函数t=arcsinx定义域x∈(-π/2,π/2);在此区间内,cosx>0
参考答案不是这样做的,应该是:
darcsinx=1/√(1-x^2) dx
所以原不定积分= ∫ (1/arcsin²x)darcsinx
=-1/arcsinx + C
你用的是换元法,前面已经设好t的取值范围,t=arcsinx 角的范围[-π/2,π/2] ,根据分母不能为0,可以确定t只需要 :-π/2<t<π/2,因为这样sint就可以取到x的所有值,那么后面
绿色部分开算术平方根=|cost|;
|cost|=cost (因为-π/2<t<π/2,所以cost>0)