什么样的矩阵能对角化呢？

Question

如题所述

Answer 1

可对角化矩阵的条件如下：

1、n阶方阵存在n个线性无关的特征向量。推论：如果这个n阶方阵有n个不同的特征值，那么矩阵必然存在相似矩阵。

2、如果阶n方阵存在重复的特征值，每个特征值的线性无关的特征向量的个数恰好等于该特征值的重。

可对角化矩阵是线性代数和矩阵论中重要的一类矩阵。可对角化矩阵和映射在线性代数中有重要价值，因为对角矩阵特别容易处理：它们的特征值和特征向量是已知的，并通过简单的提升对角元素到同样的幂来把一个矩阵提升为它的幂。

如果一个矩阵与一个对角矩阵相似，我们就称这个矩阵可经相似变换对角化，简称可对角化。与之对应的线性变换就称为可对角化的线性变换。

实对称矩阵的主要性质如下：

1、实对称矩阵A的不同特征值对应的特征向量是正交的。

2、实对称矩阵A的特征值都是实数，特征向量都是实向量。

3、n阶实对称矩阵A必可对角化，且相似对角阵上的元素即为矩阵本身特征值。

4、λ0具有k重特征值必有k个线性无关的特征向量，或者说必有秩r（λ0E-A）=n-k，其中E为单位矩阵。