设G关于二元运算"·"构成一个无限阶的循环群, 单位元记为e.
由循环群的定义, 存在a ∈ G, 使G中元素均可表示为a^n, 其中n为整数.
于是映射φ(n) = a^n是
整数集Z到群G的
满射.
又易见φ(x+y) = a^(x+y) = a^x·a^y = φ(x)·φ(y), 即φ是整数加法群到G的满同态.
假设ker(φ)包含n ≠ 0, 即有φ(n) = a^n = e.
由带余除法, 对G中任意元素, 设其为a^m, 存在整数q, r满足m = nq+r, 其中0 ≤ r < |n|.
因此a^m = a^(nq+r) = (a^n)^q·a^r = a^r, 即a^m与e, a, a^2,..., a^(|n|-1)之一相等.
则G至多有|n|个元素, 与G是无限阶群矛盾.
因此ker(φ) = {0}, φ是单同态.
于是φ: Z → G是
双射, 且为群同态, 即为同构映射.
任意无限阶循环群都与Z同构, 因此都互相同构.