为什么正交阵的特征值只有正负一？

Question

如题所述

Answer 1

证明：设A为n阶正交矩阵
我们知道正交矩阵是可U对角化的
P^-1*A*P=[v1
v2 v1..vn是其n个特征值
.. p是U矩阵
vn] ...(1)

上式左右同时取转置
PT*AT*PT^-1=[v1
v2
..
vn] ...(2)
两式相乘

P^-1*A*P*PT*AT*PT^-1=[v1^2
..
vn^2]
=p^-1*A*AT*PT^-1 (根据U矩阵性质)
=P^-1*PT^-1 正交矩阵性质
=E =[v1^2 U矩阵性质
..
vn ^2 ]

对比左右两边的矩阵可知
v1^2=v2^2=..=vn^2=1
所以正交阵的特征值只有正负一本回答被提问者采纳

Answer 2

证明：设A为n阶正交矩阵
我们知道正交矩阵是可U对角化的
P^-1*A*P=[v1
v2
v1..vn是其n个特征值
..
p是U矩阵
vn]
...(1)
上式左右同时取转置
PT*AT*PT^-1=[v1
v2
..
vn]
...(2)
两式相乘
P^-1*A*P*PT*AT*PT^-1=[v1^2
..
vn^2]
=p^-1*A*AT*PT^-1
(根据U矩阵性质)
=P^-1*PT^-1
正交矩阵性质
=E
=[v1^2
U矩阵性质
..
vn
^2
]
对比左右两边的矩阵可知
v1^2=v2^2=..=vn^2=1
所以正交阵的特征值只有正负一

Answer 3

2.2节

http://jpkc.ecnu.edu.cn/gdds/xsxz/QiuPX.htm