(395分)求几条<导数公式>的证明

Question

若f (x)=x^n(n∈Q*) ,则f '(x)=nx^n-1
若f (x)=sin x ,则f '(x)=cos x
若f (x)=cos x ,则f '(x)=-sin x
若f (x)=a^x ,则f '(x)=a^x In a
若f (x)=e^x ,则f '(x)=e^x
若f (x)=log_a x ,则f '(x)=1/(x In a)
若f (x)=In x ,则f '(x)=1/x

网址图片也行``只要能让我明白就行了~
谢谢~

Answer 1

　设(S,)是一个全序集.如果A,B是S的两个非空子集,使得对于任意a∈A和b∈B,总有a<b,那么称A和B是序分离的,且记作A<B.为方便起见,我们约定:对于S的每个子集A,<A且A<.
　　用WS表示S关于的全部良序子集组成的集合.对于Δ1,Δ2∈WS,我们称Δ1是Δ2的一个前段,如果Δ1Δ2,且Δ1<Δ2Δ1(Δ1在Δ2中的补集).此时,记作:显然,是WS的一个偏序.由文［7］中定理2,每个良序集对应于唯一的序数.于是,我们有集合Ω={i｜i是对应WS中某个集合的序数}.
　　现设是一个指标集为S的序群族.按照文［8］中第二章第7节,用Γ(Gi｜i∈S)表示的字典和.

则Γ(Gi|i∈S)由所有从S到∪i∈SGi的这样的映射f组成,使得:对于每个i∈S, f(i)∈Gi,且支集supp(f):={i∈S| f(i)≠0}∈WS.因而,群Γ(Gi| i∈S)可赋予所谓的字典序.此外,在Γ(Gi| i∈S)上,可规定一个值集为S的自然赋值w,使得,对于f∈Γ(Gi| i∈S), w(f)为supp(f)中最小元素,当supp(f)≠;或者w(f)=∞,当supp(f)=.通过约定:s<∞对于每个s∈S,赋值w满足如次性质:(i) w(f)=∞,当且仅当f=0; (ii)对于每个非零 (iii) 且当w(f)≠w(g)时,等式成立; (iv)若fg>0,则w(f)w(g).对于f∈Γ(Gi| i∈S),规定V(f): ={x|x=∞或x∈S,使得supp(f)<x}.显然V(0)=S∪{∞}.
　　对于非零元f∈Γ(Gi| i∈S)以及supp(f)的一个前段Δ, Γ(Gi| i∈S)中有唯一元素,记作f|Δ,使得f|Δ(i) =f(i),当i∈D;且f|Δ(i)=0,当iΔ.对于f,g∈Γ(Gi| i∈S),我们称f是g的一个前段,如果supp(f)是supp(g)的一个前段,且f=g|supp(f).此时,记作.显然是Γ(Gi| i∈S)的一个偏序,且对于f∈Γ(Gi| i∈S)以及supp(f)的一个前段Δ.对于Γ(Gi| i∈S)中非零元f以及k∈Ω.用Δk表示supp(f)的所有这样的前段Δ的并集,其中对应于Δ的序数不大于k.用f|k表示f|Δk,则显然f|kf.此外,对于Γ(Gi| i∈S)中两个非零元素f,g,我们称f和g具有相同的首项,如果 f|1=g|1.等价于:w(f)=w(g)且f(w(f))=g(w(g)).
　　引理1 设f,g∈Γ(Gi| i∈S),且w(f-g) = pi≠∞,则我们有
　　(1) π∈supp(f)或pi∈supp(g);
　　(2) {x∈supp(f)|x<π}={x∈supp(g)| x<π};因而,这个集合是supp(f)和supp(g)的公共前段,且记作Δ;
　　(3)若π∈supp(f),则Δ ∪{π}是supp(f)的一个前段,且supp(g)=Δ或supp(g)有这样一个前段Δ∪{α},这里απ.
　　证明 (1)显然.(2)对于x∈supp(f),其中x<π,我们有g(x)=f(x)≠0.因而x∈supp(g).同样,x∈supp(g)和x<π意味着x∈supp(f).因此,(2)中等式成立.后一结论是显然的.(3)显然, Δ∪{π}是supp(f)的一个前段,如果π∈supp(f).假定supp(g)≠Δ,则supp(g)中有一个最小元素α,使得αΔ.显然,Δ∪{α}是supp(g)的一个前段.由于α∈supp(g),但α Δ,从而必有απ.
　　引理2 对于f,g和h∈Γ(Gi| i∈S),我们有
　　(1) f和g有相同的首项,当且仅当w(f-g)>w(f);
　　(2) f g当且仅当w(f-g)∈V(f);
　　(3)若f和g有相同的首项,且w(f)w(h),则h和h+f-g有相同的首项;
　　(4)对于j,k∈Ω,其中jk, (f|k)|j =f|j;
　　(5)若fg,则f|kg|k,对于每个k∈Ω;
　　(6) f>g,当且仅当f|k>g|k,对于某个k∈Ω;
　　(7)若f|j>g|j,对于某个j∈Ω,则f|k>g|k,对于每个使得kj的k∈Ω.
　　证明 (1)和(2)显然.
　　(3)由(1)有,w((h+f-g)-h)=w(f-g)>w(f)w(h),即有结论.
　　(4)显然supp(f|j)supp(f|k)supp(f).设α∈supp(f|j),则supp(f)有一个前段Δ,使得对应于Δ的序数不超过j,且α∈Δ.由于jk,从而Δ也是supp(f|k)的一个前段,其对应的序数不超过j.因而α∈Δsupp((f|k)|j).反过来,若β∈supp((f|k)|j),则supp(f|k)有一个前段Δ,使得对应于Δ的序数不超过j,且β∈Δ.显然,Δ也是supp(f)的一个前段,其对应序数不超过j.因而,β∈Δsupp(f|j).因此,supp((f|k)|j)=supp(f|j).此外,对于α∈supp(f|j),易见(f|k)|j(α)=f(α)=f|j(α).结论(4)获证.
　　(5)假若f|k＇<g|k＇,对于某个k＇∈Ω.令π=w(f|k＇-g|k＇),则f|k＇(π)<g|k＇(π).不失一般性,设π∈supp(f|k＇).记Δ={x∈supp(f|k＇)|x<π}.由引理1知,Δ∪{π}是supp(f|k＇)的一个前段,且supp(g|k＇)=Δ或有前段Δ∪{α},其中απ.当supp(g|k＇)=Δ时,我们可断定supp(g)=Δ.事实上,如若不然,则supp(g)中有一个最小元素β,使得βΔ.显然,Δ∪ {β}是supp(g)的一个前段,且同构于Δ∪{π}.由于π∈supp(f|k＇),从而π∈Δ＇,这里Δ＇是supp(f)的一个前段,其对应序数不大于k＇.由此有,Δ∪{β}supp(g|k＇),矛盾!因此,supp(g)=Δ或有一个前段Δ∪{α},这里απ.于是w(f-g)=π.此时有f(π)=f|k＇(π)<g|k＇(π)=g(π),从而f<g.因而,(5)获证.
　　(6)充分性由(5)即得.现设f>g,且π=w(f-g),则f(π)>g(π).记Δ={x∈supp(f)|x<π}.当π∈supp(f)时,Δ∪{π}是supp(f)的一个前段,同时supp(g)=Δ或者有一个前段Δ∪{α},这里απ.用k表示Δ∪{π}的对应序数,则supp(f|k) =Δ∪{π},且supp(g|k) =Δ或Δ∪{α}.显然,w(f|k-g|k)=π,且f|k(π)=f(π)>g(π)=g|k(π).因而f|k>g|k. π∈supp(g)的情况类似可证.
　　(7)假若f|k0g|k0对于某个使得k0>j的k0∈Ω,则由(4)和(5)有, f|j=(f|k0) |j(g|k0)|j=g|j,与所设矛盾!证毕.
　　Γ(Gi| i∈S)的一个非空子集A={fj| j∈J}称作一个前段集,如果它对于关系是一个全序子集(链).此时,我们有Γ(Gi| i∈S)中唯一元素f,使得,supp(f)=∪j∈J supp(fj),且f(s)=fj(s),只要s∈supp(fj), j∈J.在下文中,这个元素f将记作:或简记作:f=lim fj.

Answer 2

这里将列举几个基本的函数的导数以及它们的推导过程:
1.y=c(c为常数) y'=0
2.y=x^n y'=nx^(n-1)
3.y=a^x y'=a^xlna
y=e^x y'=e^x
4.y=logax y'=logae/x
y=lnx y'=1/x
5.y=sinx y'=cosx
6.y=cosx y'=-sinx
7.y=tanx y'=1/cos^2x
8.y=cotx y'=-1/sin^2x
9.y=arcsinx y'=1/√1-x^2
10.y=arccosx y'=-1/√1-x^2
11.y=arctanx y'=1/1+x^2
12.y=arccotx y'=-1/1+x^2
13.y=u^v ==> y'=v' * u^v * lnu + u' * u^(v-1) * v
在推导的过程中有这几个常见的公式需要用到：
1.y=f[g(x)],y'=f'[g(x)]�6�1g'(x)『f'[g(x)]中g(x）看作整个变量，而g'(x)中把x看作变量』
2.y=u/v,y'=u'v-uv'/v^2
3.y=f(x)的反函数是x=g(y），则有y'=1/x'
证：1.显而易见，y=c是一条平行于x轴的直线，所以处处的切线都是平行于x的，故斜率为0。用导数的定义做也是一样的：y=c,⊿y=c-c=0,lim⊿x→0⊿y/⊿x=0。
2.这个的推导暂且不证，因为如果根据导数的定义来推导的话就不能推广到n为任意实数的一般情况。在得到 y=e^x y'=e^x和y=lnx y'=1/x这两个结果后能用复合函数的求导给予证明。
3.y=a^x,
⊿y=a^(x+⊿x)-a^x=a^x(a^⊿x-1)
⊿y/⊿x=a^x(a^⊿x-1)/⊿x
如果直接令⊿x→0，是不能导出导函数的，必须设一个辅助的函数β＝a^⊿x-1通过换元进行计算。由设的辅助函数可以知道：⊿x=loga(1+β)。
所以(a^⊿x-1)/⊿x＝β/loga(1+β)=1/loga(1+β)^1/β
显然，当⊿x→0时，β也是趋向于0的。而limβ→0(1+β)^1/β=e,所以limβ→01/loga(1+β)^1/β=1/logae=lna。
把这个结果代入lim⊿x→0⊿y/⊿x=lim⊿x→0a^x(a^⊿x-1)/⊿x后得到lim⊿x→0⊿y/⊿x=a^xlna。
可以知道，当a=e时有y=e^x y'=e^x。
4.y=logax
⊿y=loga(x+⊿x)-logax=loga(x+⊿x)/x=loga[(1+⊿x/x)^x]/x
⊿y/⊿x=loga[(1+⊿x/x)^(x/⊿x)]/x
因为当⊿x→0时，⊿x/x趋向于0而x/⊿x趋向于∞，所以lim⊿x→0loga(1+⊿x/x)^(x/⊿x)＝logae,所以有
lim⊿x→0⊿y/⊿x＝logae/x。
可以知道，当a=e时有y=lnx y'=1/x。
这时可以进行y=x^n y'=nx^(n-1)的推导了。因为y=x^n,所以y=e^ln(x^n)=e^nlnx,
所以y'=e^nlnx�6�1(nlnx)'=x^n�6�1n/x=nx^(n-1)。
5.y=sinx
⊿y=sin(x+⊿x)-sinx=2cos(x+⊿x/2)sin(⊿x/2)
⊿y/⊿x=2cos(x+⊿x/2)sin(⊿x/2)/⊿x=cos(x+⊿x/2)sin(⊿x/2)/(⊿x/2)
所以lim⊿x→0⊿y/⊿x=lim⊿x→0cos(x+⊿x/2)�6�1lim⊿x→0sin(⊿x/2)/(⊿x/2)=cosx
6.类似地，可以导出y=cosx y'=-sinx。
7.y=tanx=sinx/cosx
y'=[(sinx)'cosx-sinx(cos)']/cos^2x=(cos^2x+sin^2x)/cos^2x=1/cos^2x
8.y=cotx=cosx/sinx
y'=[(cosx)'sinx-cosx(sinx)']/sin^2x=-1/sin^2x
9.y=arcsinx
x=siny
x'=cosy
y'=1/x'=1/cosy=1/√1-sin^2y=1/√1-x^2
10.y=arccosx
x=cosy
x'=-siny
y'=1/x'=-1/siny=-1/√1-cos^2y=-1/√1-x^2
11.y=arctanx
x=tany
x'=1/cos^2y
y'=1/x'=cos^2y=1/sec^2y=1/1+tan^2x=1/1+x^2
12.y=arccotx
x=coty
x'=-1/sin^2y
y'=1/x'=-sin^2y=-1/csc^2y=-1/1+cot^2y=-1/1+x^2
13.联立：
①(ln(u^v))'=(v * lnu)'
②(ln(u^v))'=ln'(u^v) * (u^v)'=(u^v)' / (u^v)
另外在对双曲函数shx,chx,thx等以及反双曲函数arshx,archx,arthx等和其他较复杂的复合函数求导时通过查阅导数表和运用开头的公式与
4.y=u土v,y'=u'土v'
5.y=uv,y=u'v+uv'
均能较快捷地求得结果本回答被网友采纳

Answer 3

f(x, n) = x^(n-1) * ln(x)

f'(x, n) = x^(n-1) * (1/x) + (n-1) * x^(n-2) * ln(x)
= x^(n-2) + (n-1) * x^(n-2) * ln(x)
= x^(n-2) + (n-1) * f(x, n-1)

对n做数学归纳法。
n = 1时，有
f(x, 1) = ln(x)，
f'(x, 1) = 1/x = 0! / x。
成立。
设(n-1)时成立，即
f[n-1阶导](x, n-1) = (n-2)! / x。
则有
f[n阶导](x, n)
= ( (x^(n-1) * ln(x))' )[再求n-1阶导数]
= ( x^(n-2) + (n-1) * f(x, n-1) )[求n-1阶导数]
= 0 + (n-1) * f[n-1阶导](x, n-1)
= (n-1) * (n-2)! / x
证毕

Answer 4

这其实是不用证明的，是课本直接给的公式，若想证明，可用定义一一验证，不知道算不算，如果想详细知道证明过程，q聊