求出模16的剩余类加群Z16每一个元的阶，所有的生成元，以及所有的子群，近世代数大神进！

Question

如题所述

Answer 1

Z16就是指16阶循环群，因为它与整数模16的剩余类同构。

例如：

模15的剩余类加群G的阶是15

所以其子群的阶只能是1,3,5,15

1阶和15阶子群是平凡子群, 即 {[0]}和G本身

因为3,5是素数，所以G的3阶和5阶子群必是循环群

G中3阶元有: [5],[10], 它们生成的子群即 { [0],[5],[10] }

G中5阶元有: [3],[6],[9],[12], 它们生成的子群是 { [0],[3],[6],[9],[12] }

扩展资料：

设G为一个非空集合，a、b、c为它的任意元素。如果对G所定义的一种代数运算“·”(称为“乘法”，运算结果称为“乘积”)满足：

(1)封闭性，a·b∈G;

(2)结合律，即(a·b)c = a·(b·c);

(3)对G中任意元素a、b，在G中存在惟一的元素x，y，使得a·x= b，y·a=b，则称G对于所定义的运算“·”构成一个群。例如，所有不等于零的实数，关于通常的乘法构成一个群;时针转动(关于模12加法)，构成一个群。

参考资料来源：百度百科-子群

Answer 2

生成元有1、3、5、7、9、11、13、15所有与16互素的比16小的数
1阶子群［0］
2阶（［8］）＝｛［8］［0］｝
4阶（［4］）＝｛［4］［8］［12］［0］｝

Answer 3

16的因子有1。 2. 4, ,8, 16子群就5个