定长为6 的线段AB的端点A B在抛物线y^2=4x上移动,求AB的中点到y轴的距离的最小值，并求出此时AB中点的坐标

Question

如题所述

Answer 1

解答：

如图，设A(x1,y1),B(x2,y2),AB中点的横坐标为(x1+x2)/2

抛物线的焦点F（1,0），准线x=-1

利用抛物线的定义，|AF|=x1+1,|BF|=x2+1

则|AB|≥|AF|+|BF|=x1+x2+2

∴ x1+x2+2≥6

∴ x1+x2≥4

∴ (x1+x2)/2≥2

∴ AB的中点到y轴的距离的最小值为2

此时A，B，F三点共线，x1+x2=4

设直线AB 方程 y=k(x-1)

代入抛物线方程

k²(x-1)²=4x

∴ k²x²-(2k²+4)x+k²=0

利用韦达定理 x1+x2=(2k²+4)/k²=4

∴ k²=2

∴ y1+y2=k(x1-1)+k(x2-1)=k(x1+x2-2)=2k=±2√2

∴ AB中点的坐标是（2,±√2）

Answer 2

解：A B在抛物线y²=4x上，可设A(a²/4,a),B(b²/4,b)
由|AB|=6，得 (a²/4-b²/4)²+(a-b)²=36
AB中点到y轴距离为(a²+b²)/8