求一个关于x的二次三项式，它被x-1除余2，被x-2除余8，并且能被x+1整除

Question

如题所述

Answer 1

设二次三项式为ax^2+bx+c，则：
被x-1除余2，即x=1时，代数式=2
被x-2除余8，即x=2时，代数式=8
被x+1整除，即x=-1时，代数式=0；于是可得：
a+b+c=2 (1)
4a+2b+c=8 (2)
a-b+c=0 (3)
联立求解：
(1)-(3)
b=1,代入（1）、(2)
a+c=1 (4)
4a+c=6 (5)
(5)-(4)
a=5/3
c=-2/3
则二次三项式为：5/3x^2+x-2/3.

Answer 2

因为f(x)被x+1整除，可设f(x)=a(x+1)(x+b)
被x-1除余2，则f(1)=2,所以f(1)=2a(1+b)=2
被x-2除余8，则f(2)=8,所以f(2)=3a(2+b)=8
两式相除得：2(1+b)/[3(2+b)]=1/4
即8+8b=6+3b
得：b=-2/5
所以a=1/(1+b)=1/(1-2/5)=5/3
所以f(x)=5/3*(x+1)(x-2/5)

Answer 3

解：
设多项式为：
a(x+1)(x+b)
=a(x^2+(1+b)x+b)
分别把x=1，x=2代入则多项式分别等于：
2=a(2+2b)
8=a(6+3b)

8+8b=6+3b
a=5/3
b=-2/5

所以多项式为(x+1)(5x-2)/3
即5x^2/3+x-2/3