高中数学 椭圆

Question

（2008•福建）如图，椭圆x2/a2 + y2/b2 =1（a＞b＞0）的一个焦点是F（1，0），O为坐标原点．
（Ⅰ）已知椭圆短轴的两个三等分点与一个焦点构成正三角形，求椭圆的方程；
（Ⅱ）设过点F的直线l交椭圆于A、B两点．若直线l绕点F任意转动，值有|OA|2+|OB|2＜|AB|2，求a的取值范围．

主要问第二问
整体思路我懂，主要是代数化简选择的问题
答案里是直接设的AB：x=my+1来代数化简
最后得到一个a2b2m2＞a2-a2b2+b2对于任意m恒成立
然后用函数的思想即m=0时解出了a的范围

可是按照正常的来
就是用y=kx-k来化简
这里我最后也得到了一个a2b2＞k2(a2-a2b2-b2)
本质跟上一个式子是一样的
可以化简为a2b2/k2＞a2-a2b2-b2
但是有个问题，因为K为分母所以不能取0

那这样用y=kx+b模式的来做就做不出来了吗？？

我该怎么第一时间就知道要选择x=my+n这种类型而不是y=kx+b呢

可能话有点多，求高手们耐心指导下~~
不是这个意思..我明白x=my+n确实会减少计算量
我不了解的是，按y=kx+b来做，虽然计算量会大点，但也应该可以得到同样的结果
但是貌似得不出来（我上面说了）
求指点..

Answer 1

这个是经验选择法，比如在一些题目里我们要用伟达定理，但是是Y1+Y2=A，那么这个时候就是消去x，那你设成x=my+n,就方便一些，在这里你应该知道每个形式的直线方程的限制，y=kx+b,这种形式的包括k=0,但是不包括斜率不存在。x=my+n,包括斜率不存在，但是不包括k=0.所以要在题干中分析你要设出的直线方程斜率是怎样的，（1）可以为0，但是一定存在，那就是y=kx+b;(2)可以不存在，但是不为0，那就是x=my+n.(3)既可以不存在，也可以为0，那就看伟达定理中要用的是x还是y，如果是x，那设y=kx+b,讨论斜率不存在；如果是y，那设x=my+n,讨论斜率为0.积累经验，可以在做题前预判直线方程如何设，才可以在考试中节省时间！加油！孩子追问

不是这个意思..我明白x=my+n确实会减少计算量
我不了解的是，按y=kx+b来做，虽然计算量会大点，但也应该可以得到同样的结果
但是貌似得不出来（我上面说了）
求指点..

追答

a2b2＞k2(a2-a2b2+b2)，在这里要讨论的
既然是恒成立问题，那么就是与k的取值无关，讨论k的系数
1.a^2-a^2b^2+b^2>0,不合题意
2.a^2-a^2b^2+b^2=0，解得a=(1+√5)/2
3.a^2-a^2b^2+b^2c=1),或a^2>(3+√5)/2=(6+2√5)/4=(1+2√5+5)/4=(√5+1)^2/4,所以a>(√5+1)/2

Answer 2

设直线方程有好多种方式，在直线与圆锥曲线里方程可有三种设法：
1、知道直线斜率K=2，可设斜截式，y=2x+m
2、知道过定点（1,2），此时可有两种方法，这也是你疑问的
（1）设点斜式，设斜率为K，但此时要考虑斜率不存在的情况：y-2=k（x-1）与x=1两条直线分别与圆锥曲线联立求解。
（2）若不想用上例分类讨论，可设x-1=m（y-2）此时不用讨论斜率不存在的情况，不会漏解。
若过（2,5）可设，x-2=m（y-5）
3、动直线可设斜截式：y=kx+m
我该怎么第一时间就知道要选择x=my+n这种类型而不是y=kx+b呢
就是斜率不存在的情况下也可能行的时候追问

说错了，就算设成x关于y的形式也要讨论..
不过我想问的其实是另一个..

Answer 3

和＂斜截式＂：y=kx+b　对偶的形式是＂横截式＂：x=my+a，
斜截式用于斜率存在时，横截式用于斜率不存在或斜率不为0时．
本题中，无论用哪种形式，均需讨论．
用x=my+1时，它不包括过F点的直线y=0，
用y=kx-k 时，它不包括过F点的直线x=1．
所以，用哪一个都可以，讨论一下就行了．
当然，由于本题已知的直线过F(1,0)，即已知在x轴上的截距，设成x=my+1，
在计算上，可能会省些事．追问

不是这个意思..我明白x=my+n确实会减少计算量
我不了解的是，按y=kx+b来做，虽然计算量会大点，但也应该可以得到同样的结果
但是貌似得不出来（我上面说了）
求指点..

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