再用正交变换化二次型为标准形时,
第一步:求出A
第二布:求出特征值
第三步:求出特征向量
第四部:对特征向量进行正交化,单位化
第五步:做正交变换x=Cy,得到f的标准形
我想请问一下:第三步到第五步有这个必要吗?求出特征值之后,直接写出f=λ1y1^2+λ2y2^2+λ3y3^2.。。。不就可以了吗?
我是这样想的:不是有个定理说实对称矩阵一定是可以对角化的,也就是说,n阶实对称矩阵一定存在n个线性无关的特征向量,也就是说,实对称矩阵的n个特征值(可能会有相等的特征值)所对应的n个特征向量一定是线性无关的,那么这些向量组成的矩阵经过正交化和单位化后得到的矩阵C(正交变换矩阵)的行列式一定不等于0,所以C一定是可逆的,那为什么要按照上面第三步到第五步把C求出来然后验证它是不是等于0呢?第三步至第五步有必要吗?
还有我想问一下,为什么必须对特征向量组成的矩阵正交化和单位化呢?不进行会怎么样呢?
求详解,万分感谢!!!
因为你这是在求“标准形”,二次项系数若非0则必为1。这句话你确定吗?二次项系数若非0则必为1的难道不是规范形吗?
追答不好意思,刚回顾了下。。。答案有些修改。。。
第四步不用正交化,但需要单位化,否则变换矩阵非正交矩阵。
任何一个二次型的矩阵都是实对称矩阵,它一定可以对角化,对角化的过程是对它进行几何变换(仿射、平移、正交),如果需要正交变换加平移变换,就需要单位化,如果进行仿射变换,就不一定要单位化。不管哪种变换,都可以把图形变成它的仿射等价类,而仿射等价类和图形的形状是一一对应的。。。所以如果不单位化,即变换矩阵不是正交矩阵也没有关系。
几何学里面都是正交变换的,一般要单位化,即用正交变换不改变图形形状,主轴长度不改变。
1.若题目只要求你写出标准型的话,第三步到第五步还有必要吗?
2.那么这些向量组成的矩阵经过正交化和单位化后得到的矩阵C(正交变换矩阵)的行列式一定不等于0,所以C一定是可逆的。我说的这句话正确吗?
3.经过相似对角化转化后也是对角矩阵,写出来也是标准形,为什么不行?为什么必须是正交对角化?
万分感谢!!!
1. 若题目只要求写出标准型的话,第三步到第五步要不要都行的.
2. 矩阵C一定是可逆的.
3. 相似对角化用于线性空间的基变换;化二次型为标准型用对称变换.你注意一下化二次型为标准型的过程就能发现这个问题。