高等数学线性代数问题

再用正交变换化二次型为标准形时,
第一步:求出A
第二布:求出特征值
第三步:求出特征向量
第四部:对特征向量进行正交化,单位化
第五步:做正交变换x=Cy,得到f的标准形

我想请问一下:第三步到第五步有这个必要吗?求出特征值之后,直接写出f=λ1y1^2+λ2y2^2+λ3y3^2.。。。不就可以了吗?

我是这样想的:不是有个定理说实对称矩阵一定是可以对角化的,也就是说,n阶实对称矩阵一定存在n个线性无关的特征向量,也就是说,实对称矩阵的n个特征值(可能会有相等的特征值)所对应的n个特征向量一定是线性无关的,那么这些向量组成的矩阵经过正交化和单位化后得到的矩阵C(正交变换矩阵)的行列式一定不等于0,所以C一定是可逆的,那为什么要按照上面第三步到第五步把C求出来然后验证它是不是等于0呢?第三步至第五步有必要吗?
还有我想问一下,为什么必须对特征向量组成的矩阵正交化和单位化呢?不进行会怎么样呢?
求详解,万分感谢!!!

实对称矩阵是可以相似对角化,(额,我们一般会叫相合,因为是正交矩阵,其逆矩阵即为转置矩阵,相似变换即为相合变换了),所以第四步不用正交化了,直接单位化即可,因为你这是在求“标准形”,二次项系数若非0则必为1。此时C为单位正交矩阵。如果不单位化,f的矩阵A仅仅是对角阵,其行列式不是1,与标准做法得到的结果无非相差一个伸缩变换而已。
例:x^2+y^2+z^2+2xy+2yz+2xz=0,A=(1 1 1 ,1 1 1 ,1 1 1),特征值3,0,3对应特征向量(1 ,1 ,1)',0对应特征向量(-1 ,1 ,0)'和(-1 ,0 ,1)',单位化得到C=(根号3/3 -根号2/2 -根号2/2 ,根号3/3 根号2/2 0 , 根号3/3 0 根号2/2 ) ,则变换后二次型的新矩阵为(1 0 0,0 0 0,0 0 0)即新二次型为x^2=0,若不单位化,则变换后二次型的新矩阵为(9 0 0,0 0 0,0 0 0)即新二次型为9x^2=0,ps:我举了个平面的例子,一般的曲面也对.。

对于后边问的,“第三步到第五步有这个必要吗?求出特征值之后,直接写出f=λ1y1^2+λ2y2^2+λ3y3^2.。。。不就可以了吗?”是可以直接写的,但题目有时会问你用的什么变换,要具体写出变换,这仅仅是题目考法,要不算个特征值那就太简单了。。。追问

因为你这是在求“标准形”,二次项系数若非0则必为1。这句话你确定吗?二次项系数若非0则必为1的难道不是规范形吗?

追答

不好意思,刚回顾了下。。。答案有些修改。。。
第四步不用正交化,但需要单位化,否则变换矩阵非正交矩阵。

任何一个二次型的矩阵都是实对称矩阵,它一定可以对角化,对角化的过程是对它进行几何变换(仿射、平移、正交),如果需要正交变换加平移变换,就需要单位化,如果进行仿射变换,就不一定要单位化。不管哪种变换,都可以把图形变成它的仿射等价类,而仿射等价类和图形的形状是一一对应的。。。所以如果不单位化,即变换矩阵不是正交矩阵也没有关系。
几何学里面都是正交变换的,一般要单位化,即用正交变换不改变图形形状,主轴长度不改变。

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第1个回答  2013-02-12
若是用正交化方法化二次型 为标准型,则第三步到第五步是必须的,要不你到哪里去求那个正交变换呢?

若不对特征向量进行标准正交化,那就不是正交对角化,而是相似对角化了.追问

1.若题目只要求你写出标准型的话,第三步到第五步还有必要吗?

2.那么这些向量组成的矩阵经过正交化和单位化后得到的矩阵C(正交变换矩阵)的行列式一定不等于0,所以C一定是可逆的。我说的这句话正确吗?

3.经过相似对角化转化后也是对角矩阵,写出来也是标准形,为什么不行?为什么必须是正交对角化?

万分感谢!!!

追答

1. 若题目只要求写出标准型的话,第三步到第五步要不要都行的.

2. 矩阵C一定是可逆的.

3. 相似对角化用于线性空间的基变换;化二次型为标准型用对称变换.你注意一下化二次型为标准型的过程就能发现这个问题。

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第2个回答  2013-02-12
我倒是想给你回答。可惜这是大一上学的、、早就忘光了啊!不好意思哦!