高等数学线性代数问题

Question

再用正交变换化二次型为标准形时，
第一步：求出A
第二布：求出特征值
第三步：求出特征向量
第四部：对特征向量进行正交化，单位化
第五步：做正交变换x=Cy，得到f的标准形

我想请问一下：第三步到第五步有这个必要吗？求出特征值之后，直接写出f=λ1y1^2+λ2y2^2+λ3y3^2.。。。不就可以了吗？

我是这样想的：不是有个定理说实对称矩阵一定是可以对角化的，也就是说，n阶实对称矩阵一定存在n个线性无关的特征向量，也就是说，实对称矩阵的n个特征值（可能会有相等的特征值）所对应的n个特征向量一定是线性无关的，那么这些向量组成的矩阵经过正交化和单位化后得到的矩阵C（正交变换矩阵）的行列式一定不等于0，所以C一定是可逆的，那为什么要按照上面第三步到第五步把C求出来然后验证它是不是等于0呢？第三步至第五步有必要吗？
还有我想问一下，为什么必须对特征向量组成的矩阵正交化和单位化呢？不进行会怎么样呢？
求详解，万分感谢！！！

Answer 1

实对称矩阵是可以相似对角化，（额，我们一般会叫相合，因为是正交矩阵，其逆矩阵即为转置矩阵，相似变换即为相合变换了），所以第四步不用正交化了，直接单位化即可，因为你这是在求“标准形”，二次项系数若非0则必为1。此时C为单位正交矩阵。如果不单位化，f的矩阵A仅仅是对角阵，其行列式不是1，与标准做法得到的结果无非相差一个伸缩变换而已。
例：x^2+y^2+z^2+2xy+2yz+2xz=0，A=(1 1 1 ,1 1 1 ,1 1 1)，特征值3,0，3对应特征向量(1 ,1 ,1)'，0对应特征向量(-1 ,1 ,0)'和(-1 ,0 ,1)'，单位化得到C=(根号3/3 -根号2/2 -根号2/2 ,根号3/3 根号2/2 0 , 根号3/3 0 根号2/2 ) ,则变换后二次型的新矩阵为(1 0 0,0 0 0,0 0 0)即新二次型为x^2=0，若不单位化，则变换后二次型的新矩阵为(9 0 0,0 0 0,0 0 0)即新二次型为9x^2=0，ps:我举了个平面的例子，一般的曲面也对.。

对于后边问的，“第三步到第五步有这个必要吗？求出特征值之后，直接写出f=λ1y1^2+λ2y2^2+λ3y3^2.。。。不就可以了吗？”是可以直接写的，但题目有时会问你用的什么变换，要具体写出变换，这仅仅是题目考法，要不算个特征值那就太简单了。。。追问

因为你这是在求“标准形”，二次项系数若非0则必为1。这句话你确定吗？二次项系数若非0则必为1的难道不是规范形吗？

追答

不好意思，刚回顾了下。。。答案有些修改。。。
第四步不用正交化，但需要单位化，否则变换矩阵非正交矩阵。

任何一个二次型的矩阵都是实对称矩阵，它一定可以对角化，对角化的过程是对它进行几何变换（仿射、平移、正交），如果需要正交变换加平移变换，就需要单位化，如果进行仿射变换，就不一定要单位化。不管哪种变换，都可以把图形变成它的仿射等价类，而仿射等价类和图形的形状是一一对应的。。。所以如果不单位化，即变换矩阵不是正交矩阵也没有关系。
几何学里面都是正交变换的，一般要单位化，即用正交变换不改变图形形状，主轴长度不改变。

Answer 2

若是用正交化方法化二次型 为标准型，则第三步到第五步是必须的，要不你到哪里去求那个正交变换呢？

若不对特征向量进行标准正交化，那就不是正交对角化，而是相似对角化了.追问

1.若题目只要求你写出标准型的话，第三步到第五步还有必要吗？

2.那么这些向量组成的矩阵经过正交化和单位化后得到的矩阵C（正交变换矩阵）的行列式一定不等于0，所以C一定是可逆的。我说的这句话正确吗？

3.经过相似对角化转化后也是对角矩阵，写出来也是标准形，为什么不行？为什么必须是正交对角化？

万分感谢！！！

追答

1. 若题目只要求写出标准型的话，第三步到第五步要不要都行的.

2. 矩阵C一定是可逆的.

3. 相似对角化用于线性空间的基变换；化二次型为标准型用对称变换.你注意一下化二次型为标准型的过程就能发现这个问题。

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Answer 3

我倒是想给你回答。可惜这是大一上学的、、早就忘光了啊！不好意思哦！