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设关于X的函数Y=2（cosx）^2-2acosx-（2a+1）的最小值为f（a）
（1）试用a写出f（a）的表达式
（2）试确定f（a）=1/2的a值，并对此时的a求出y的最大值

推荐答案 2013-02-16

Y=2（cosx）^2-2acosx-（2a+1）
设t=cosx∈[-1,1]
y=2t²-2at-(2a+1)
=2(t²-at+a²/4)-(a²/2+2a+1)
=2(t-a/2)²-(a²/2+2a+1)
这是关于t的二次函数，但t∈[-1,1]
求函数的最小值表达式，需讨论对称轴
t=a/2与区间[-1,1]的三种位置关系。
1）当a/2≤-1即a≤-2时，[-1,1]在对称轴右侧，函数递增
∴t=-1时，y取得最小值f(a)=y|(t=-1)=1
2)当-1<a/2<1，即-2<a<2时,
函数在[-1,a/2]上递减，在[a/2,1]上递增
∴t=a/2时，y取得最小值f(a)=y|(t=a/2)=-a²/2-2a-1
3)当a/2≥1即a≥2时，，[-1,1]在对称轴左侧，函数递减
∴t=1时，y取得最小值f(a)=y|(t=1)=1-4a

综上所述，函数最小值表达式f(a)为分段形式：
{1 , (a≤-2)
f(a)={-a²/2-2a-1, (-2<a<2)
{1-4a, (a≥2)

(2)
若f(a)=1/2 ，只有-2<a<2时才能满足
∴-a²/2-2a-1=1/2
即a²+4a+3=0解得a=-1或a=-3(舍去）
∴a=-1
此时y=2t²+2t+1,
t=1时，y取得最大值5

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其他回答

第1个回答 2013-02-16

（1）y=2(cosx-a/2)^2-a^2/2-2a-1 ，由于 -1<=cosx<=1 ，因此
① 若 a/2<-1 即 a< -2 ，则 f(a)=2(-1-a/2)^2-a^2/2-2a-1=2+2a-2a-1=1 ；
② 若 a/2>1 即 a>2 ，则 f(a)=2(1-a/2)^2-a^2/2-2a-1=2-2a-2a-1=1-4a ；
③ 若 -1<=a/2<=1 即 -2<=a<=2 ，则 f(a)= -a^2/2-2a-1 ，
所以，f(a) 表达式为
｛1（a<-2）；
f(a)= ｛-a^2/2-2a-1（-2<=a<=2）；
｛1-4a（a>2）。
（这是一个分段函数，写成三行）
（2）由 1-4a=1/2 得 a=1/8 ，不满足 a>2 ，舍去，
由 -a^2/2-2a-1=1/2 得 a= -1 （舍去 -3），
所以当 a= -1 时，f(a)=1/2 。
此时 y=2(cosx)^2+2cosx+1=2(cosx+1/2)^2+1/2 ，
因此当 cosx=1 时 max Y=5 。

第2个回答 2013-02-16

配方：

Y = 2 （（cosx）^2 - a cosx + 1/4 * a^2 ) - 2 * 1/4 * a^2 -(2a+1)
= 2(cosx - 1/2*a)^2 - 2 *1/4 * a^2 -(2a+1)

最小值f(a) = - 2 *1/4 * a^2 -(2a+1) = - 1/2*a^2 -2a -1

解方程
-1/2*a^2 -2a -1 = 1/2

a = -1 或 a = -3
此时 Y= 2(cosx - 1/2*a)^2 + f(a) = 2(cosx - 1/2*a)^2 + 1/2

a = -1时

2(cosx - 1/2*a)^2 <= 2(1+1/2)^2 = 9/2

所以
Y = 9/2 +1/2 = 5

a = -3时
2(cosx - 1/2*a)^2 <= 2(1+3/2)^2 = 25/2
所以
Y = 25/2 +1/2 = 13

第3个回答 2013-02-16

好希望有个笔啊给你算算但是不方便哈给你说思路 cosx 范围[-1-1]
把它当做一个未知数x，设个二元一次方程然后出来。下面的应该也就出来了追问

　　大哥，我在线等着，您慢慢打字，或者拍照什么的都行，我等，只要不是按天作单位我都等着，跪求。。。。。。。。。。。。。。

追答

上面的回复挺多的你看上面的吧今天第一天上班小忙

追问

好吧，不打扰，送你个赞同

第4个回答 2013-02-16

还在百度上吗？追问

在的，等着呢

追答

上面的回答似乎给出了正确答案。如果你还不明白的话我就参与答案解释，哈哈哈哈！！！！