三角函数对称轴问题，在线等！！高三党跪求解释！！

Question

已知f(x)=sin(x/2+π/6)，若函数f(x)与y=g(x)的图像关于x=π对称，求函数y=g(x)的单调递增区间。

请问，这个对称的条件怎么用啊，一看到对称我就不会用，在三角函数里，像这样的已经知道了对称轴，可以怎么利用？请高手解答！！多谢！！

Answer 1

已知f(x)=sin(x/2+π/6)，若函数f(x)与y=g(x)的图像关于x=π对称，求函数y=g(x)的单调递增区间。
请问，这个对称的条件怎么用啊，一看到对称我就不会用，在三角函数里，像这样的已经知道了对称轴，可以怎么利用？请高手解答！！多谢！！

对于函数自身的对称
函数y=f(x)的图像关于直线x=a对称的充要条件是f(a+x)=f(a-x)即f(x)=f(2a-x)
对于二个不同的函数的对称
函数y=f(x)的图像关于直线x=a成轴对称的函数为y=f(2a-x)的图像。

∵f(x)=sin(x/2+π/6)，若函数f(x)与y=g(x)的图像关于x=π对称
显然这是二不同的函数
∴g(x)=f(2π-x)= sin((2π-x)/2+π/6)=sin(π-(x/2-π/6))=sin(x/2-π/6)
2kπ-π/2<=x/2-π/6<=2kπ+π/2==>4kπ-2π/3<=x<=4kπ+4π/3,g(x)单调增追问

为什么f(a+x)=f(a-x)即f(x)=f(2a-x)?

追答

令x=a-x代入f(a+x)=f(a-x)，则f(2a-x)=f(x)

Answer 2

不难发现函数y=g(x)应也为正弦或余弦函数，可以先列出通式g(x)=Asin(ωx+φ)
，应为只是关于直线x=π对称，那么函数的最大最小值，周期均不发生改变，只是相位改变，那么把g(x)进一步简化为g(x)=sin(x/2+φ)
再看原函数，令x=0,则f(x)=1/2 所以g(2π)=f(0)=1/2
sin(π+φ)=1/2 φ=-π/6或 φ=-5π/6
再令x=π,则f(π)=cos(π/6)=√3/2 g(π)=f(π)=√3/2
cos(φ)=√3/2 φ=-π/6 或 φ=π/6
综上 φ=-π/6
结论：g(x)=sin(x/2-π/6）

单调增区间是:2kPai-Pai/2<=x/2-Pai/6<=2kPai+Pai/2
即有[4kPai-2Pai/3,4kPai+4Pai/3]

Answer 3

若函数f(x) 与 g(x) 的图像关于 x=π 对称 设f(x) 的自变量为x， g(x)的自变量为x1
则必定有： x+x1=2π (根据中点坐标公式)

x=2π-x1 代入 f(x)=sin(x/2+π/6) 得出 函数g(x)= sin(x/2-π/6）

一切就 ok了

那用的了楼上那么复杂？