二项式系数公式

Question

如题所述

Answer 1

二项式系数的公式是C（n，k）=n!/（k!*（n-k）!）。

二项式系数（binomial coefficient），或组合数，在数学里表达为：（1 + x）ⁿ展开后x的系数（其中n为自然数）。从定义可看出二项式系数的值为整数。

一般二项式（x + y）ⁿ的幂可用二项式系数记为 。广义二项式定理把这结果推广至负数或非整数次幂，此时右式则不再是多项式，而是无穷级数。

二项式系数对组合数学很重要，因它的意义是从n件物件中，不分先后地选取k（k为正整数）件的方法总数，因此也叫做组合数。从定义出发，把n个（1+x）项的乘积展开，其中任意k项的x和n−k项的1相乘得出一个x，故此x的系数是从n个选取k个的方法总数。

二项式系数是杨辉三角的第n+1行从左起第k+1个数，它最先由杨辉发现。二项式系数符合等式可以由其公式证出，也可以从其在组合数学的意义推导出来。

发现历程

二项式系数表为在我国被称为贾宪三角或杨辉三角，一般认为是北宋数学家贾宪所首创。它记载于杨辉的《详解九章算法》（1261）之中。在阿拉伯数学家卡西的著作《算术之钥》（1427）中也给出了一个二项式定理系数表，他所用的计算方法与贾宪的完全相同。

在欧洲，德国数学家阿皮安努斯在他1527年出版的算术书的封面上刻有此图。但一般却称之为帕斯卡三角形，因为帕斯卡在1654年也发现了这个结果。无论如何，二项式定理的发现，在我国比在欧洲至少要早300年。