多元复合函数求导法则问题，大学高数老师或是高手进！急啊！

Question

目前预习，遇到了些问题，因为是公式成因问题，如果没搞清楚就没办法做题，望大家多多帮助，不要嫌弃我啊！具体的问题我放在图上，谢谢！

Answer 1

(一)书上的说法是在形式上套多元函数的偏导数公式，目的是让学生容易接受；其实是：
z=f(u，v，w)，u=φ(x，y)，v=x，w=y；故：
∂z/∂x=(∂f/∂u)(∂u/∂x)+(∂f/∂v)(∂v/∂x)+(∂f/∂w)(∂w/∂x)=(∂f/∂u)(∂u/∂x)+∂f/∂x
∂z/∂y=(∂f/∂u)(∂u/∂y)+(∂f/∂v)(∂v/∂y)+(∂f/∂w)(∂w/y)=(∂f/∂u)(∂u/∂y)+∂f/∂y
其实没必要这样作，既罗嗦，还让人费脑子。
由z=f[φ(x，y)，x，y]，直接就可写出∂z/∂x=(∂f/∂u)(∂u/∂x)+∂f/∂x；∂z/∂y=(∂f/∂u)(∂u/∂y)+∂f/∂y

(二)你写的两个式子都有错！
∂z/∂x=(∂f/∂u)(∂u/∂x)+∂f/∂y+∂f/∂x，这式子里多写了一个∂f/∂y；z对x的偏导数与z对y的偏导数无关！

第二个式子同样多写了一个∂f/∂x，道理与上同！
(三)z=f(u，v)，u=φ(x，y)，v=ψ(x，y)，则：
∂z/∂x=(∂z/∂u)(∂u/∂x)+(∂z/∂v)(∂v/∂x)；这是多元函数偏导数的基本定理，u是x和y的函数，v也是x和y的函数；为什么要相加？你最好仔细看看该定理的证明，因为不是几句话能说清楚的。追问

就算原本是z=f(u,v,w),u=φ(x,y),v=x,w=y,但是v=x,w=y也复合的是一元函数，求导时应是dv/dx,dw/dx啊，怎么还是求偏导数，不是二元函数的嘛。书上没有讲公式是怎么来的，直接给了我这公式，说是根据复合函数来的，但是我觉得不大好记，就推算了一遍，结果就出现了以上你所看到的问题。不过我还真想知道为什么要相加。如果你嫌麻烦就只帮我讲一讲怎么是求偏导数，如果不是就两个一起讲，谢谢！

追答

在只有一个自变量的条件下，偏导数就是全导数，二者可通用，上面的式子也
可写成：
∂z/∂x=(∂f/∂u)(∂u/∂x)+(∂f/∂v)(dv/dx)+(∂f/∂w)(dw/dx)=(∂f/∂u)(∂u/∂x)+∂f/∂x
∂z/∂y=(∂f/∂u)(∂u/∂y)+(∂f/∂v)(dv/dy)+(∂f/∂w)(dw/dy)=(∂f/∂u)(∂u/∂y)+∂f/∂y

追问

,为什么要将v=x,w=y也看成复合函数？

追答

前面不是说了吗？就是为了形式上套那个多元函数的偏导数公式，让学生好掌握嘛！
其实根本无此必要！把v=x,w=y也看成复合函数没什么关系，因为∂w/∂x=dw/dx=dx/dx
=1；∂w/∂y=dw/dy=dy/dy=1；不要太死心眼，学得活一点。