用因式分解法解方程

Question

当m是什么整数时，关于x的一元二次方程x²-2mx+m²-4m-5=0与mx²-8x+16=0的根都有是整数。

Answer 1

当m是整数中，x的二次方程式的×2 2MX +平方米的4米5米×2-8x内= 0 16 = 0的根是一个整数。

解决方案：将X 2 2MX + M2-4M-5 = 2-2MX +（M-5）（M +1）= 0的根是一个整数，你必须使方程

2-2MX +（米-5）第（m +1）= [+（-5）] [+第（m +1）]成立，即，使-3219米=米-5 + m +1个=2米4,4米= 4，因此，m = 1时， 1时，×2 2×8 =（4）第（x +2） = 0 X？ = -2中，x？ = 4，两个整数; />作出的mx 2-8x内16 = [（√米）×4] 2，必须取m = 1，当m = 1，×2 - 8倍16 = （4）2 = 0，x = 4时是一个整数;
它是使两个二次方程式×2 2MX +平方米4米-5 = 0米×2 - 8倍16 = 0的根有整数，你只能取m = 1。

Answer 2

当m是什么整数时，关于x的一元二次方程x²-2mx+m²-4m-5=0与mx²-8x+16=0的根都有是整数。

解：要使x²-2mx+m²-4m-5=x²-2mx+(m-5)(m+1)=0的根是整数，则必需使等式
x²-2mx+(m-5)(m+1)=[x+(m-5)][x+(m+1)]成立，也就是要使-2m=m-5+m+1=2m-4，4m=4，故m=1；
当m=1时，x²-2x-8=(x-4)(x+2)=0，得x₁=-2，x₂=4，两根都是整数；
要使mx²-8x+16=[(√m)x-4]²成立，必须取m=1；当m=1时x²-8x+16=(x-4)²=0，得x=4是整数；
故要使两个一元二次方程x²-2mx+m²-4m-5=0与mx²-8x+16=0的根都有是整数，则只能取m=1。追问

要使mx²-8x+16=[(√m)x-4]²成立，必须取m=1，为什么？

追答

mx²-8x+16=[(√m)x-4]²=mx²-8(√m)x+16

这是一个恒等式，对应项系数必须相等，可见：-8=-8(√m)，故√m=1，即有m=1.

追问

为什么要使mx²-8x+16=[(√m)x-4]²成立？

追答

mx²-8x+16=0的根x=[8±√(64-64m)]/2m=[8±8√(1-m)]/2m=[4±4√(1-m)]/m=(4/m)[1±√(1-m)]

是整数；那么m=1时x=4；m=-3时x=-(4/3)[1±2]=-4或4/3；m=-8时x=-(1/2)[1±3]=-2或1；
即m=1，或-3或-8时该方程有整数根4或-4或-2或1。
你的提问让我猛醒：做着做着把题意给忘了，以为是要完全平方！如果只要求有整数解，m可取
1，-3，-8；但两个方程都有整数解则只能取m=1.

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Answer 3

x²-2mx+m²-4m-5=0
(x-m)²-(4m+5)=0
[(x-m)-√(4m+5)][(x-m)-√(4m+5)]=0
x=m+√(4m+5),x=m-√(4m+5)

mx²-8x+16=0

(x-4/m)²-(16/m²-16/m)=0
[(x-4/m)-√(16/m²-16/m)][(x-4/m)-√(16/m²-16/m)]=0
x=4[1+√(1-m)]/m,x=4[1-√(1-m)]/m

4m+5≥0,1-m≥0,m≠0
-5/4≤m≤1,m≠0
因此，当m=±1时，方程的根都是整数。