已知椭圆C:x^2/a^2+y^2/b^2=1的离心率为√2/2,右焦点F关于直线x-2y=0对称的点在圆x^2+y^2=4上

Question

（1）求此椭圆的方程
（2）设M是椭圆C上异于长轴端点的任意一点，试问在x轴上是否存在两个定点A，B，使得直线MA,MB的斜率之积为定值？若存在，则求出这两个顶点及定值；若不存在，请说明理由。

Answer 1

就如楼上那位仁兄的回答，但我的看法不同，我也在做这道题（回家作业，本来想直接百度抄抄的，呵呵），我觉得是存在的
(1)由离心率e=c/a=√2/2知c²/a²=1/2，得a²=2b²
右焦点坐标(c,0)，过右焦点和关于直线x-2y=0对称的点的直线方程为y=-2(x-c)
求得对称点坐标为(4c/5,2c/5)，所以对称点坐标为(3c/5,4c/5)
因为这个点在x²+y²=4上，所以有(3c/5)²+(4c/5)²=4，求得c²=4
故a²=8，b²=4
椭圆方程为x²/8+y²/4=1

(2)存在
不妨设M(2√2cosθ,2sinθ) (0<θ<π或π<θ<2π)
若存在A(m,0)、B(n,0)
MA斜率k1=2sinθ/(2√2cosθ-m)、MB斜率k2=2sinθ/(2√2cosθ-n)
则k1k2=4sin²θ/[8cos²θ-2√2(m+n)cosθ+mn]=4(1-cos²θ)/[8cos²θ-2√2(m+n)cosθ+mn]
那位仁兄说找不到定值mn我觉得找得到
分式上边是4-4cos²θ，那下边只要是它的k倍就可约，找得到定值了，已经有8cos²θ那猜想使得-2√2(m+n)cosθ+mn等于-8就好了，cosθ要没有，则m+n=0，mn=-8，所以m=2√2 n=-√2 或m=-2√2,n=2√2
所以定点就是长轴端点
打的挺辛苦啊，可能现在楼主不需要这个答案了，打上去就当我是无聊吧，不知道对不对的说，以前一直挑初中题目回答，难得回答高中的呵，高三党伤不起，我妈还不许我上网，偷偷呐。。（废话好多- -|||）

Answer 2

(1)由离心率e=c/a=√2/2知c²/a²=1/2，得a²=2b²
右焦点坐标(c,0)，过右焦点和关于直线x-2y=0对称的点的直线方程为y=-2(x-c)
求得对称点坐标为(4c/5,2c/5)，所以对称点坐标为(3c/5,4c/5)
因为这个点在x²+y²=4上，所以有(3c/5)²+(4c/5)²=4，求得c²=4
故a²=8，b²=4
椭圆方程为x²/8+y²/4=1

(2)不存在。
定性分析
只有圆上会找到直径两端点，使得异于两端点的任意一点到这两端点斜率乘积恒为0，即两线段永远成直角。但是这是椭圆上一点，所以无法找到。
定量分析
不妨设M(2√2cosθ,2sinθ) (0<θ<π或π<θ<2π)
若存在A(m,0)、B(n,0)
MA斜率k1=2sinθ/(2√2cosθ-m)、MB斜率k2=2sinθ/(2√2cosθ-n)
则k1k2=4sin²θ/[8cos²θ-2√2(m+n)cosθ+mn]=4(1-cos²θ)/[8cos²θ-2√2(m+n)cosθ+mn]
显然找不到固定的m和n，使得k1k2与θ无关。故，不存在！本回答被提问者和网友采纳

Answer 3

存在的，定点就是椭圆左右顶点。