(1)求证平面PBE垂直平面PBD!(2)若二面角P-AB-D为45度，求直线PA与平面PBE所成角的正弦值！

Question

条件 四边形ABCD为正方形，PD垂直平面，EC//PD,且PD=2EC,
不好意思 第一次用，不习惯

Answer 1

（1）过E点作EN平行平面ABCD交PB于点N，作NM//EC交DB于M，可知四边形ENMC是平行四边形

又因为PD垂直于ABCD，所以PD垂直EN、PD垂直BD

因为NM//EC//PD、NM=EC=0.5PD，所以M点是DB的中点。

又因为ABCD是正方形，所以DB垂直CM

又因为EN//CM，所以DB垂直EN

又因为EN垂直PD，所以EN垂直平面PDB

又因为EN属于平面PEB，所以平面PEB垂直平面PDB

（2）辅助线如下图所示

PA，FB是平面PEB与面PAD和面ABCD的交线

AH//PD，AG//DB，LL'//DA，DL垂直PB

设边AB长为a

因为二面角P-AB-D为45度，即角PAD为45度，PD垂直DA，所以PD=DA=a

由第一问可得DL垂直面PEB，

三角形AHG与三角形PDB是相似三角形，则AL'//DL且AL'=0.5DL

所以AL'垂直面PEB，则角APL'就是所求直线与平面的角。

在直角三角形PDA中求出AP，在直角三角形PDB中求出DL

在直角三角形APL'中求出正弦值。

Answer 2

提示：
（1）取PB中点F，可证EF垂直平面PBD；
（2）用向量算吧，综合法添辅助线比较复杂，需要补形。