方差的性质中，常数倍数和独立变量如何影响方差计算？

Question

如题所述

Answer 1

方差计算公式具有以下重要性质：

1. 常数性质：如果C为常数，那么其方差D(C)等于0，表示常数没有波动，即D(C) = 0。

2. 常数倍乘性质：当X乘以常数C时，方差变为C的平方与X方差的乘积，即D(CX) = C² D(X)。这可以通过证明来体现，例如D(-X) = D(X)，而D(-2X) = 4D(X)，说明方差不会因为符号变化而改变，且乘以负数时，方差会扩大。

3. 独立变量的方差性质：若X和Y是独立的随机变量，其方差的乘积有特殊关系。记D(X)和D(Y)为X和Y的方差，当它们相互独立时，D(X + Y) = D(X) + D(Y)。当进一步扩展到多项时，独立项的方差求和会保持独立性，即不会相互影响。

计算方差的公式是基于一组数据的平均值（M）的。平均数是通过将所有数据点（x₁, x₂, ..., x_n）相加然后除以数据个数n得出的，即M = (x₁ + x₂ + x₃ + ... + x_n) / n。

方差的计算公式则是计算每个数据点与平均值的差的平方（(M - x₁)^2, (M - x₂)^2, ..., (M - x_n)^2），然后将这些差的平方求和后除以数据个数n，即S² = 〈(M - x₁)^2 + (M - x₂)^2 + ... + (M - x_n)^2〉 / n。