等腰直角三角形ABC的直角边AB=BC=10cm，点P、Q分别从A、C两点同时出发，均以1cm/秒的相同速度做直线运动

Question

等腰直角三角形ABC的直角边AB=BC=10cm，点P、Q分别从A、C两点同时出发，均以1cm/秒的相同速度做直线运动，
2012-09-16 18:13丨丶不要再ai | 分类：数学 | 浏览1039次
等腰直角三角形ABC的直角边AB=BC=10cm，点P、Q分别从A、C两点同时出发，均以1cm/秒的相同速度做直线运动，已知P沿射线AB运动，Q沿边BC的延长线运动，PQ与直线AC相交于D．
（1）当点P运动几秒时，△PCQ的面积等于△ABC的面积？
（2）作PE⊥AC于点E，当点P、Q运动时，线段DE的长度是否改变？

Answer 1

解：当t＜10秒时，P在线段AB上，此时CQ=t，PB=10-t
∴s＝1/2×t×(10−t)＝1/2 (10t−t2)
当t＞10秒时，P在线段AB得延长线上，此时CQ=t，PB=t-10
∴s＝1/2×t×(t−10)＝1/2 (t2−10t)
（1）∵S△ABC=1/2*AB•BC＝50（5分）
∴当t＜10秒时，S△PCQ=1/2 (10t−t2)＝50
整理得t2-10t+100=0无解
当t＞10秒时，S△PCQ=1/2(t2−10t)＝50
整理得t2-10t-100=0解得x＝5±5√5
∵x>0 ∴x=5+5√5
∴当点P运动5+5√5秒时，S△PCQ=S△ABC
（2）当点P、Q运动时，线段DE的长度不会改变
证明：过Q作QM⊥AC，交直线AC于点M
易证△APE≌△QCM，
∴AE=PE=CM=QM=√2/2t，
∴四边形PEQM是平行四边形，且DE是对角线EM的一半
又∵EM=AC=10√2
∴DE=5√2
∴当点P、Q运动时，线段DE的长度不会改变

Answer 2

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