如何证明线性代数中的向量线性相关

Question

如题所述

Answer 1

证明线性相关的方法如下：

1、定义法：如果存在一组实数不全为零的数，使得这组数与一组系数（实数）的乘积之和等于零，则称这组系数为线性相关。

2、线性组合法：如果存在一组实数不全为零的数，使得这组数的线性组合等于零，则称这组数线性相关。

3、矩阵法：如果存在一个可逆矩阵，使得这组数的线性组合等于零，则称这组数线性相关。

4、秩法：如果这组数的秩小于其维数，则称这组数线性相关。

5、特征值法：如果这组数的特征值至少有一个为零，则称这组数线性相关。

线性代数是数学的一个分支，它的研究对象是向量，向量空间（或称线性空间），线性变换和有限维的线性方程组。向量空间是现代数学的一个重要课题。

线性代数被广泛地应用于抽象代数和泛函分析中；通过解析几何，线性代数得以被具体表示。线性代数的理论已被泛化为算子理论。由于科学研究中的非线性模型通常可以被近似为线性模型，使得线性代数被广泛地应用于自然科学和社会科学中。

历史：

线性代数作为一个独立的分支在20世纪才形成，然而它的历史却非常久远。“鸡兔同笼”问题实际上就是一个简单的线性方程组求解的问题。最古老的线性问题是线性方程组的解法，在中国古代的数学著作《九章算术·方程》章中，已经作了比较完整的叙述。

所述方法实质上相当于现代的对方程组的增广矩阵的行施行初等变换，消去未知量的方法。线性代数的领域还只限于平面与空间。十九世纪上半叶才完成了到n维线性空间的过渡。随着研究线性方程组和变量的线性变换问题的深入，行列式和矩阵在18～19世纪期间先后产生。