矩阵的秩为什么等于转置的秩？

Question

如题所述

Answer 1

因为A乘A的秩等于A的秩，然后任意矩阵的转置矩阵的秩与原矩阵的秩相同。

A的秩 = A的行秩 = A的列秩，A^T 是 A 的行列互换，所以 r(A) = r(A^T)。矩阵的列秩和行秩总是相等的，因此它们可以简单地称作矩阵 A的秩。通常表示为 rk(A) 或 rank A。

1、设A为m*n的矩阵；

2、那么AX=0的解肯定是 AT*AX=0的解（AT表示A的转置）；

3、至于AT*AX=0 左右两边乘以XT，（注意查看是否符合矩阵乘法，前后列行相等才能相乘）；

4、上一步化成（AX）T*AX=0，可知AX=0，那么意味着AT*AX=0的解必定也是AX=0的解；

5、两个方程有相同的解，那么n-r（ATA）=n-r(A) 。

扩展资料：

矩阵的秩变化规律

(1)转置后秩不变

(2)r(A)<=min(m,n),A是m*n型矩阵

(3)r(kA)=r(A),k不等于0

(4)r(A)=0 <=> A=0

(5)r(A+B)<=r(A)+r(B)

(6)r(AB)<=min(r(A),r(B))

(7)r(A)+r(B)-n<=r(AB)

参考资料：百度百科-矩阵的秩

Answer 2

楼上在乱回答什么，数学的教育任重而道远
矩阵的秩指的是非零子式可以取到的最大阶数
对于矩阵A而言，如果它的秩是r，那么意味着A的最大非零子式的阶数是r，换句话说就是矩阵A里面最大可以取到一个r阶的非零子行列式D，至于r+1阶甚至更大阶数的子行列式都是零
理解了矩阵秩的概念，来考虑下矩阵A的转置A^T的秩是什么情况
要注意两点1——在A^T中取得子行列式恰好是A中某个子行列式的转置；2——反过来A中子行列式也是A^T中某个子行列式的转置
先看第二点——那这样的话已知A里面最大可以取到一个r阶的非零子行列式D，而A^T中存在着某个子行列式的转置等于这一个r阶的非零子行列式D，再加上行列式的转置不改变数值，也就说是A^T中所谓的这某个子行列式D^T也是非零的，而且还是r阶的，此时就可以判断出A^T中秩至少是r
再看第一点——如果A^T中秩比r大，就是说A^T可以取到一个阶数比r大的非零子行列式F，但是呢，A^T中取得子行列式恰好是A中某个子行列式的转置，上面F恰好是A中某个子行列式的转置，再加上行列式的转置不改变数值，也就说是A中存在着一个阶数比r大的非零子行列式F^T，这就与A的秩是r矛盾了
综合来看，A^T中秩至少是r，又不能大过r，那就只能是r咯。因此可以下结论，矩阵的秩等于转置的秩
我说的可能有点啰嗦，但是希望你能想的彻底