函数在闭区间上连续,函数的极限存在,函数在x0的某一邻域内有界。
反证法:
设函数f(x)在闭区间[a,b]连续,函数在[a,b]无界。
将[a,b]划分为[a,a+b/2][a+b/2,b],设函数在[a,a+b/2]无界(函数不可能在两个闭区间有界),设a=a1,a+b/2=b1。
将[a1,b1]划分为[a1,a1+b1/2][a1+b1/2,b1],设函数在[a1,a1+b1/2]无界,设a1=a2。
a1+b1/2=b2。
.....
得到{[an,bn]}。
f(x)在 {[an,bn]} 无界,∃ ξ ∈[an,bn],且lim(n->∞)an=lim(n->∞)bn= ξ。
由于ξ ∈[an,bn],即ξ ∈[a,b],f(x)在ξ的某一邻域内极限存在,即∃常数M>0和δ >0,使得当x∈U( ξ,δ)∩[a,b]成立时,有|f(x)|≤M。 (函数极限的局部有界性)
当n充分大时,[an,bn]∈U( ξ,δ)∩[a,b],与假设矛盾。
所以函数f(x)在[a,b]连续,f(x)在[a,b]有界。
1/x在0处算没有定义吧,我说的函数在闭区间上有定义,也就是有限,感觉是理所当然的,想要个严谨点的证明,像证明闭区间连续函数有界一样
追答函数不连续,说明在某点或者某些点的左极限、右极限、该点的值不全部一样,那取值就有无限可能
还是以y=1/x为例,
如果我定义x≠0时,y=1/x;x=0时,y=0
这时候你能说函数有界吗?