什么是最简形矩阵

Question

如题所述

Answer 1

行最简形矩阵（Row simplest form matrix），线性代数名词，是指线性代数中的某一类特定形式的矩阵。

在阶梯形矩阵中，若有一个矩阵满足是阶梯形矩阵；所有的非零行的第一个非零元素均为1，且其所在列中的其他元素都是零。任何一个非零矩阵总可以经过有限次初等变换为阶梯形矩阵和最简阶梯形矩阵。

三种变换称为矩阵的行初等变换：对调两行；以非零数k乘以某一行的所有元素；把某一行所有元素的k倍加到另一行对应元素上去。将定义中的“行”换成“列”，即得到矩阵的初等列变换的定义。

矩阵的初等行变换与矩阵的初等列变换，统称为矩阵的初等变换。

任一矩阵可经过有限次初等行变换化成阶梯形矩阵；任一矩阵可经过有限次初等行变换化成行最简形矩阵；矩阵在经过初等行变换化为最简形矩阵后，再经过初等列变换，变化为标准形矩阵 ，因此，任一矩阵可经过有限次初等变换化成标准形矩阵。

最简矩阵就是通过一系列的初等行列变换后变成的左上角部分是个单位矩阵,除了左上角单位阵部分的其它地方的元素全部为0的矩阵就是原矩阵的最简形矩阵。

最简形矩阵可以用来表示线性方程的解。矩阵的行数表示方程式的个数，列数表示每个方程式的项数，其中最右侧的列表示常数项，只有常数项在方程中等号的右侧。除了表示常数项的列，其余列的数量表示未知数的个数。

比如3X4矩阵中，三行表示有三个方程构成的方程组，四列表示有三个未知数和一个常数项。同列元素表示现一个未知数在不同的方程式中的系数。那么把矩阵转化为最简形矩阵的过程，就是解方程的过程。