二次函数的诀窍

Question

如题所述

Answer 1

1.要弄清函数各种类型的解析式及其图象性质.比如二次函数顶点式,一般式,和X轴的交点式等等,其图象的顶点,对称轴,在什么时候是增函数,什么时候是减函数.
2.数形结合.也就是在研究函数的性质的时候,一定要紧密结合函数图象,在平面直角坐标系中来研究它们的性质,即直观又形象易懂.
3.适当练习,二次函数很多人感到头痛,实际上它的题型主要就是那么些.只要熟练了,就不难了.
4.待定系数法是函数中常常用的一种重要方法,务必熟练掌握.
一．二次函数近年命题趋势：

近年来，全国各省市的中考题中，考查二次函数及其相关内所占的比例较大，考题选择题、填空题、综合题，每个题型都有涉及。选择和填空题主要考察二次函数的意义、性质等知识点；综合题常与方程、一次函数、反比例函数、圆等知识综合在一起，有些综合题也会考查学生运用二次函数知识解决实际问题的能力。

二．常考知识点梳理及相应解题技巧：

考点一：二次函数的有关概念

一般的，形如y=ax2+bx+c（a,b,c是常数，a≠0）的函数叫做x的二次函数。

技巧：二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的几种特殊形式：

（1） 若b=c=0,则y=ax2；

（2） 若b=0,c≠0,则y=ax2+c；

（3） 若b≠0,c=0,则y=ax2+bx。

考点二：二次函数的图像及几种重要形式的特点

（1） 二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图像是一条抛物线，当a>0时，抛物线开口向上；当a<0时，抛物线开口向下。

（2） 几种常见形式的抛物线的特点（对称轴、顶点坐标）

形式名称
几种常见形式
对称轴
定点坐标

可看成顶

点式的特

殊形式
y=ax2
y轴（x=0）
（0，0）

y=ax2+k
y轴（x=0）
（0 , k）

y=a(x-h)2
x=h
(h , 0)

顶点式
y=a(x-h)2+k
x=h
(h , k)

一般式
y=ax2+bx+c
x=-b/2a
（-b/2a ，(4ac-b2)/4a）

交点式
y=a(x-x1)(x-x2)
x=x1+x2/2
可化为一般式或顶点式求解

技巧：顶点式、一般式、交点式之间可以互化，如果抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）与x轴有两个交点(x1,0),(x2,0),则可写成y=a(x-x1)(x-x2)，可把y=ax2+bx+c通过配方法化成顶点式y=a(x+ b/2a)2+ (4ac-b2)/4a。

考点三：二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的变化情况（增减性）

（1） 当a>0时，在对称轴左侧（x<-b/2a），y随x的增大而减小；在对称轴右侧（x>-b/2a），y随x的增大而增大。

（2） 当a<0时，在对称轴左侧（x<-b/2a），y随x的增大而增大；在对称轴右侧（x>-b/2a），y随x的增大而减小。

u 技巧：结合图形

考点四：二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的最值

（1） 当a>0时，抛物线y=ax2+bx+c有最低点，函数有最小值，当x=-b/2a时，y最小=(4ac-b2)/4a。

（2） 当a<0时，抛物线y=ax2+bx+c有最高点，函数有最大值，当x=-b/2a时，y最大=(4ac-b2)/4a。

技巧：结合图形的顶点和对称轴

考点五：二次函数图像的平移规律
任意抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）可以由抛物线y=ax2经过适当的平移得到，

技巧：平移后抛物线开口方向、开口大小不变，即a不变；平移时“上加下减”“左加右减”。

考点六：求二次函数的解析式

用待定系数法求二次函数的解析式，要根据给定点的特点选择合适的方法来求解。

技巧：（1）已知顶点坐标或对称轴或最大值时，可设顶点式y=a(x-h)2+k；

(2)已知抛物线与x轴两交点坐标或已知抛物线与x轴一交点坐标与对称轴，可通过设交点式y=a(x-x1)(x-x2)来求解；

（3）所给的三个条件是任意三点时，可设一般式y=ax2+bx+c，然后组成三元一次方程组来求解

考点七：二次函数的应用

在一些实际问题中，如物体的运动规律问题、销售利润问题、几何图形的变化问题、存在性问题等

技巧：从题目信息中抽象出二次函数的数学模型，再用函数的规则解决这些实际问题。
二次函数是初中数学中最精彩的内容之一，也是历年中考的热点和难点。其中，关于函数解析式的确定是非常重要的题型。而今年的中考正是面临新课程改革，教材的内容和学习要求变化较大，其中一个突出的变化就是强化了对图形变换的要求，那么二次函数和图形变化的结合，将是同学们在学习中不可忽视的内容。

图形变换包含平移、轴对称、旋转、位似四种变换，那么二次函数的图像在其图形变化(平移、轴对称、旋转)的过程中，如何完成解析式的确定呢？解决此类问题的方法很多，关键在于解决问题的着眼点。笔者认为最好的方法是用顶点式的方法。因此解题时，先将二次函数解析式化为顶点式，确定其顶点坐标，再根据具体图形变换的特点，确定变化后新的顶点坐标及a值。

1、平移：二次函数图像经过平移变换不会改变图形的形状和开口方向，因此a值不变。顶点位置将会随着整个图像的平移而变化，因此只要按照点的移动规律，求出新的顶点坐标即可确定其解析式。

例1.将二次函数y=x2-2x-3的图像向上平移2个单位，再向右平移1个单位，得到的新的图像解析式为_____

分析：将y=x2-2x-3化为顶点式y=(x-1)2-4，a值为1，顶点坐标为(1，-4)，将其图像向上平移2个单位，再向右平移1个单位，那么顶点也会相应移动，其坐标为(2，-2),由于平移不改变二次函数的图像的形状和开口方向，因此a值不变，故平移后的解析式为y=(x-2)2-2。

2、轴对称：此图形变换包括x轴对称和关于y轴对称两种方式。

二次函数图像关于x轴对称的图像，其形状不变，但开口方向相反，因此a值为原来的相反数。顶点位置改变，只要根据关于x轴对称的点的坐标特征求出新的顶点坐标，即可确定其解析式。

二次函数图像关于y轴对称的图像，其形状和开口方向都不变，因此a值不变。但是顶点位置会改变，只要根据关于y轴对称的点的坐标特征求出新的顶点坐标，即可确定其解析式。

例2.求抛物线y=x2-2x-3关于x轴以及y轴对称的抛物线的解析式。

分析：y=x2-2x-3=(x-1)2-4，a值为1，其顶点坐标为(1，-4)，若关于x轴对称，a值为-1，新的顶点坐标为(1，4)，故解析式为y=-(x-1)2+4；若关于y轴对称，a值仍为1，新的顶点坐标为(-1，-4)，因此解析式为y=(x+1)2-4。

3、旋转：主要是指以二次函数图像的顶点为旋转中心，旋转角为180°的图像变换，此类旋转，不会改变二次函数的图像形状，开口方向相反，因此a值会为原来的相反数，但顶点坐标不变，故很容易求其解析式。

例3.将抛物线y=x2-2x+3绕其顶点旋转180°，则所得的抛物线的函数解析式为________

分析：y=x2-2x+3=(x-1)2+2中，a值为1，顶点坐标为(1，2)，抛物线绕其顶点旋转180°后，a值为-1，顶点坐标不变，故解析式为y=-(x-1)2+2。