第1个回答 2019-11-25
（08湖南郴州27题）（本题满分10分）如图10，平行四边形ABCD中，AB＝5，BC＝10，BC边上的高AM=4，E为
BC边上的一个动点（不与B、C重合）．过E作直线AB的垂线，垂足为F．
FE与DC的延长线相交于点G，连结DE，DF．．
（1）
求证：ΔBEF
∽ΔCEG．
（2）
当点E在线段BC上运动时，△BEF和△CEG的周长之间有什么关系？并说明你的理由．
（3）设BE＝x，△DEF的面积为
y，请你求出y和x之间的函数关系式，并求出当x为何值时,y有最大值，最大值是多少？
（08湖南郴州27题解析）（1）
因为四边形ABCD是平行四边形，
所以
1分
所以
所以
3分
（2）
的周长之和为定值．
4分
理由一：过点C作FG的平行线交直线AB于H
，因为GF⊥AB，所以四边形FHCG为矩形．所以
FH＝CG，FG＝CH
因此，
的周长之和等于BC＋CH＋BH
由
BC＝10，AB＝5，AM＝4，可得CH＝8，BH＝6，
所以BC＋CH＋BH＝24
。。。6分
理由二：由AB＝5，AM＝4，可知
在Rt△BEF与Rt△GCE中，有：
，
所以，△BEF的周长是
，
△ECG的周长是
又BE＋CE＝10，因此
的周长之和是24．
6分
（3）设BE＝x，则
所以
8分
配方得：
．
所以，当
时，y有最大值．
9分
最大值为
．
10分
例3.（08浙江温州）如图，在
中，
，
，
，
分别是边
的中点，点
从点
出发沿
方向运动，过点
作
于
，过点
作
交
于
，当点
与点
重合时，点
停止运动．设
，
．
（1）求点
到
的距离
的长；
（2）求
关于
的函数关系式（不要求写出自变量的取值范围）；
（3）是否存在点
，使
为等腰三角形？若存在，请求出所有满足要求的
的值；若不存在，请说明理由．
6.
解：（1）
，
，
，
．
点
为
中点，
．
，
．
，
，
．
（2）
，
．
，
，
，
，即
关于
的函数关系式为：
．
（3）存在，分三种情况：
①当
时，过点
作
于
，则
．
，
，
．
，
，
，
．
②当
时，
，
．
③当
时，则
为
中垂线上的点，于是点
为
的中点，
．
，
，
．综上所述，当
为
或6或
时，
为等腰三角形．
46．（2009年山东青岛市）如图，在梯形ABCD中，
，
，
，
，点
由B出发沿BD方向匀速运动，速度为1cm/s；同时，线段EF由DC出发沿DA方向匀速运动，速度为1cm/s，交
于Q，连接PE．若设运动时间为
（s）（
）．解答下列问题：
（1）当
为何值时，
？
（2）设
的面积为
（cm2），求
与
之间的函数关系式；
（3）是否存在某一时刻
，使
？若存在，求出此时
的值；若不存在，说明理由．
（4）连接
，在上述运动过程中，五边形
的面积是否发生变化？说明理由．
【关键词】全等三角形的性质与判定、相似三角形判定和性质、平行四边形有关的计算
【答案】解：（1）∵
∴
．而
，∴
，∴
．
∴当
．
（2）∵
平行且等于
，∴四边形
是平行四边形．∴
．
∵
，∴
．∴
．∴
．
．∴
．
过B作
，交
于
，过
作
，交
于
．
．
∵
，∴
．又
，
，
，
．
（3）
．若
，则有
，
解得
．
（4）在
和
中，
∴
．
∴在运动过程中，五边形
的面积不变．