为什么矩阵的秩小于n 行列式为0

Question

如题所述

Answer 1

秩小于n的n阶矩阵的行列式一定为零。
当m不等于n时，mxn矩阵没有行列式。
任何方阵都可以通过初等行变换转化为上三角阵。
上三角阵的行列式为0当且仅当主对角线上的元素中有0。
n阶上三角阵的秩 = n - 主对角线上0的个数。
初等行变换 = 左乘(可逆)初等矩阵。于是初等行变换保秩，并且使得变换前后的矩阵的行列式同为0或同不为0。
这样，A的行列式为0当且仅当对应的上三角阵秩小于n，也即A的秩小于n。
对于一个n阶的n*n矩阵A来说，
如果其行列式|A|=0，
则说明矩阵的秩小于n，即非满秩矩阵
而如果|A|≠0，无论是大于还是小于0，
都说明矩阵的秩就等于n
实际上行列式|A|=0，
就说明矩阵A在经过若干次初等变换之后存在元素全部为0的行，
所以其秩R(A)<n< p="">
而行列式|A|≠0，即经过若干次初等变换之后不存在元素全部为0的行，
其秩R(A)=n

Answer 2

因为矩阵的秩小于n，则一定可以通过初等变换化为其中一行（列）或多行（列）为零的情况，初等行（列）变换是左（右）乘一初等矩阵，进行多次行（列）变换就是乘多个初等矩阵，因为矩阵一定可以通过初等变换化为某（多）行（列）为零的矩阵，故矩阵可写为一些初等矩阵左乘（行变换）某（多）行（列）为零的矩阵再右乘（列变换）一些初等矩阵的形式（若仅通过一种变换可以仅左乘或右乘），如下:AA1A2…BCC1C2…，而由于|AB|=|A||B|所以|原式|=|A||A1||A2|…|B||C||C1||C2|…其中，由于B的行或列一定有全为零的，所以|B|=0，故|原式|为零，即矩阵得行列式为零。

Answer 3

矩阵秩＜n,矩阵不可逆，经过初等变换后会有全0行，所以行列式值＝0