详解二进制浮点数

Question

如题所述

Answer 1

十进制的科学计数法大家都熟悉，实数可以用如下形式表示：

浮点数在计算机中以二进制科学计数法存储，单精度占用32位，双精度占用64位。以下以64位双精度浮点数为例。

最高位是符号位(sign)，0代表正数，1代表负数。接下来的11位是指数(exponent)，最后52位是小数(fraction)。浮点数值可用以下公式计算，类似于十进制的科学计数法。

需要注意的是，exponent和fraction不是直接存储的。

实际上，62位到52位存储的是c，长度为11位，所以c可以表示10进制[公式]区间内的整数，0和2047有特殊含义。1023是64位浮点数的指数偏移量(exponent bias)，32位浮点数的偏移量是127。在这里[公式]可以表示[公式]区间内的整数。不考虑c=0和2047的情况，指数exponent的取值范围是[公式]。

因为要保证[公式]，小数点前的数字总是1，所以不用存储，51位到0位存储的值称为尾数(mantissa)，是用二进制表示的小数点后的数字。如果不熟悉如何用二进制表示小数，请自行百度。这里写作m，从高位到低位写作[公式]，m转成十进制的值可以用以下公式算出：[公式]

所以m的取值范围是[公式]，小数fraction的取值范围是[公式]。

当[公式]时，双精度浮点数达到可以表示的最大正数[公式]。

当[公式]时，双精度浮点数达到可以表示的最小正数[公式]。

负数的情况相同。

上面说到c=0和2047有特殊含义，有以下4种情况：

浮点数不能表示所有实数，比如1.375可以被精确表示，因为[公式]。但是在例1中，1.4和1.1两个数都不能被精确表示，用[4]的链接可以将浮点数字面量转换成真实存储的值，可以看到1.4被近似成了1.399999999999999，1.1被近似成了1.10000000000000008，所以两数相减得到的不是0.3而是0.2999999999999998。

两个双精度数之间的最小相对误差是[公式]，所以只能保证15位有效数字，第16位只是部分精确。单精度只能保证6位有效数字，第7位部分精确。所以在例2中[公式]，恰巧第16位有效数字是部分精确的，4可以被精确表示，但是[公式]，因为最后一位并不能表示5，所以出现了浮点数误差。[公式]的结果中的4已经在第17位，超出了双精度浮点数的最大有效位数，就被忽略了，所以有[公式]。